高中数学-高考试题(南开大学 1933年微积分)

问答题（1933年南开大学）

Find the area bounded by the curves.

y = sinx of y = 1/2sinx between x = 0 and x = π.

答案解析

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讨论

高中数学

ABCD is a rectangle. and a straight line APQ cuts BC in P & DC extended in Q. Locate the point P so that the sum of the areas of the two triangles ABP&CPO may be a minimum.

Reduce the hyperbola 4x² - 9y² - 24x + 36y - 36 = 0 to standard form.

Find the equation in polar coordinates of the straight line which is perpendicular to the polar axes at a distance of 5 units from the pole.

Find the area of the triangle out off from the first quadrant by the tangent to the ellipse 2x² + 3y² = 14 at the point (1, 2).

Draw the graph of the equation (1) y = x³ - x² - x + 1.Use the graph to locate the roots of the equation (2) x³ - x² - x + 1 = 0.Check by solving the equation algebraically.

Two straight roads intersect at an angle of 30°. If two automobiles start at the same time at the junction, one at the rate of 60 miles an hour and the other atthe rate of 40 miles an hour, how far apart will they be in 15 minutes?

已知三角形之三角及其面积，求作其圆.

两圆相外切 (tangent externally) 于 A，又有一外公切线 (common external tangent) 切两圆于 B 及 C，试证 ∠BAC 为直角(right angle).

北京师范大学解方程

某甲作工若干日，共得工洋 36 圆.如其每日多挣二角，则虽少作二日，亦可得相等之工资.问其每日工价若干，又问其作若干日.

微积分

已知y=e-xsin2x，求微分dy.

利用积分计算椭圆x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)所围成的面积.

河南省微积分

记曲线y=x3+x2,y=-x2+k(4<k<5)与y轴围成的面积为A，这两条曲线与直线x=2围成的面积为B，如图所示，若A=B，则k的值为【】

定义在全体实数上的连续函数f(x)满足下列条件：当n-1≤x<n时，|f(x)|=|6(x-n+1)(x-n)|( n正整数)定义在开区间(0,4)上的函数g(x)=f(t)dt-f(t)dt.若g(x)在x=2处取得最小值0，则f(x)dx的值为【】

对于函数f(x)，已知f'(x)=4x3-2x，且f(0)=3，求f(2)的值.

关于方程(lnx)1/2/(x[a-(lnx)1/2]2) dx=1,α∈(-∞,0)∪(1,+∞)，下列叙述正确的有【】

不大于log2⁡(x3+1)dx+(2x-1)1/3dx的最大整数是______.

令S=(lnx)5/x²dx，则[S]=______.

对于一个实数x，令{x}=x-[x]. 记S=min⁡({x/8},{x/4}) dx，则[S]=______.

导数与微分

用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高多少时容器的面积容积最大？并求出它的最大容积。

函数y=1+3x-x3有【】

函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为__________.

设函数f(x)=a2x2+ax-3lnx+1，其中a>0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围.

设函数f(x)=ln⁡(a-x)，已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.(1)求a；(2)设函数g(x)=(x+f(x))/(xf(x)).证明：g(x)<1.

已知函数f(x)=x3 - x2+ax+1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.

已知函数f(x)=(3-2x)/(x2+a).(1)若a=0，求y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)在x=-1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值.

设a,b为实数，且a>1，函数f(x)=ax-bx+e2 (x∈R)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意b>2e2，函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围；(3)当a=e时，证明：对任意b>2e4，函数f(x)有两个不同的零点x1,x2，满足：x2>blnb/(2e2 ) x1+e2/b. (注：e=2.71828… 是自然对数的底数)

设y=ln⁡(x+)，求y的导数y'.

求函数f(x)=的导数.