证明题(1991年全国统考

根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=-x3 + 1在(-∞,+∞)是减函数.

参考答案

关键词

函数;单调;数学;定义;证明;上任;单调性;

设P是一个凸多面体,满足以下两个性质:(i) P的每一个顶点恰属于 3 个不同的面;(ii) 对任意 k ≥3, P 中 k 边形面都恰有偶数个。有一只蚂蚁从某条棱的中点出发,沿棱爬行,走一条闭合路径 L ,经过 L 上每一点恰好一次,最终回到出发点。 L 将 P 的表面分为两部分,使得对任意的 k ≥3,两部分中 k 边形面的个数相等。求证:蚂蚁在爬行中向左转和向右转的次数相等。

锐角△ABC中,AB>AC,M为其外接圆⊙O的劣弧BC的中点,K为A的对径点,过O作OD∥AM交AB于D,交CA的延长线于E,直线BM交直线CK于P,直线CM交直线BK于Q. 求证:∠OPB+∠OEB=∠OQC+∠ODC.

已知正整数n,恰有36个不同的质数整除n,对k=1,2,3,4,5,记[(k-1)n/5,kn/5]中互质的整数个数为Cn,已知C1,C2,C3,C4,C5不完全相同.求证:(Ci - Cj)2 ≥236.

给定正整数m>1,求正整数n的最小值,使得对任意正整数a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn,存在整数x1,x2,…,xn,满足以下两个条件:(1) ∃i∈{1,2,…,n}使得xi与m互质;(2) aixi = bixi ≡ 0(mod m).

证明:tan 3x/2 - tan x/2=2sinx/(cosx+cos2x) .

给定实数a,a≠0,a≠1,设函数y=(x-1)/(ax-1)(x∈R,x≠1/a).证明:(Ⅰ)经过这个函数图像上任意两个不同的点的直线不平行于x轴;(Ⅱ)这个函数的图像关于直线y=x成轴对称图形.

设a>0,a≠1,t>0,比较1/2logat与loga (t+1)/2的大小,并证明你的结论.

设复数z1和z2满足关系式=0,其中A为不等于0的复数.证明:(1)| z1+A||z2+A|=|A|2;(2) =||.

如图,三棱锥P-ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=l,,PA,BC的公垂线,ED=h.求证:三棱锥P-ABC的体积V=l2h/6.

已知x1>0,x≠1,且xn+1=,(n=1,2,⋯).试证:数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn<xn+1,或者对任意自然数n都满足xn>xn+1.