填空题(2024年清华大学

方程(x5-5x+k)=0有______个实根.

答案解析

13

【解析】

解答过程见word版

讨论

证明:当0<x<1时,x-x²<sinx<x.

设函数f(x)=x-x³eax+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))的切线方程为y=-x+1.(1)求a,b的值;(2)设g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;(3)求f(x)极值点的个数.

已知函数f(x)=x3-x+1,则【 】

若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是______________.

已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.

已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-e⁡x2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1<x2,则a的取值范围是____________.

已知函数f(x)=ln⁡(1+x)+axe-x(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围.

已知函数f(x)=ax-1/x-(a+1)ln⁡x.(1)当a=0时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围.

已知函数f(x)=ex ln⁡( 1+x).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)设g(x)=f'(x),讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性;(3)证明:对任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).

设函数f(x)=e/2x+ln⁡x (x>0).(1)求f(x)的单调区间;(2)已知a,b∈R,曲线y=f(x)上不同的三点(x1,f(x1 )),(x2,f(x2 )),(x_3,f(x_3 ))处的切线都经过点(a,b).证明:(ⅰ)若a>e,则0<b-f(a)<1/2 (a/e-1);(ⅱ)若0<a<e,x1<x2<x_3,则2/e+(e-a)/(6e2 )<1/x1 +1/x_3 <2/a-(e-a)/(6e2 ).(注:e=2.71828⋯是自然对数的底数)