高中数学-高考试题(全国统考 1985年映射与函数)

计算题（1985年全国统考）

设函数f(x)的定义域是[0,1]，求函数f(x²)的定义域.

答案解析

[-1,1]

讨论

高中数学

设 (3x-1)6=a6 x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值.

求曲线y2=-16x+64的焦点.

设 |a|≤1，求arccosa+arccos⁡(-a)的值.

已知椭圆Γ的方程x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)，点P的坐标为 (-a,b).(1) 若直角坐标平面上的点 M,A(0,-b),B(a,0)满足=1/2(+),求点M的坐标；(2) 设直线l1:y=k1 x+p交椭圆Γ于C,D两点，交直线l2：y=k2 x 交于点E，若k1•k2=-b2/a2 ，证明：E为CD的中点；(3) 对于椭圆Γ上的点Q(acos⁡θ,bsin θ)(0<θ<π)，如果椭圆Γ上存在不同的两点P1, P2,使得+=，写出求作点P1，P2的步骤，并求出使P1, P2存在的θ的取值范围.

若实数x,y,m满足|x- m|>|y- m|，则称x比y远离m.(1) 若x2-1比1远离0，求x的取值范围;(2) 对于任意两个不相等的正数a,b.证明：a3+b3比a2b+ab2 远离 2ab;(3) 已知函数f(x) 的定义域 D={x|x≠kπ/2+π/4,k∈Z,x∈R}. 任取x∈D，f(x)等于sinx和 cosx中远离0的那个值，写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质(结论不要求证明).

如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4 个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 米铁丝。骨架将到柱底面8 等分，再用S 平方米塑輯片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面).（Ⅰ）当圆柱底面半径r 为何值时， S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01 平方米）；（Ⅱ）在灯笼内，以矩形骨架的頂点为端点，安装一些霓虹灯，当灯笼底面半径为0.3 米时，求图中两根直线型霓虹灯A1B3,A3B5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数值表示).

已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85，n∈N*.（Ⅰ）证明：{an - 1} 是等比数列；（Ⅱ）求数列{Sn}的通项公式。请指出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由.

已知0<x<π/2，简化： lg⁡(cos⁡x•tan⁡x+1-2sin2⁡(x/2))+lg⁡[cos⁡( x-π/4)]-lg⁡( 1+sin⁡2 x).

某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是1/13 ，1/11 ，1/5 ，则此人将【】

若x0是方程(1/2 )x=x1/3的解，则x0属于区间【】

映射与函数

Find all functions f from the integers to the integers such that for all integers n：2f(f(n))=5f(n)-2n【译】求所有函数f:z→z，使得对任意整数n有：2f(f(n))=5f(n)-2n

函数 f(x) = 1/(x+1)+lnx 的定义域是__________.

已知 f(x) = x3, 则 f−1(x) =______.

设 a ∈ R, 若存在定义域为 R 的函数 f(x) 满足: ① 对任意 x0 ∈ R, f(x0) 的值为 x02 或 x0; ② 关于 x 的方程 f(x) = a 无实数解. 则 a 的取值范围是_______________.

求函数y=的定义域.

函数y=中，x的取值范围是__________.

已知一企业一年营业额1.1亿元，每年增加0.05亿元，利润0.16亿元，每年增长4%.(1)求营业额前20季度的和.(2)请问哪年哪季度营业额是利润的18%？

已知x1,x2∈R，若对任意的x2-x1∈S,f(x2 )-f(x1)∈S，则有定义：f(x)是S关联的.(1)判断和证明f(x)=2x-1是否在[0,+∞)关联？是否有[0,1]关联?(2)若f(x)是在{3}关联的，在x∈[0,3)时f(x)=x2-2x，求解不等式：2≤f(x)≤3.(3)证明：f(x)是{1}关联的，且是在[0,+∞)关联的，当且仅当“f(x)在[1,2]是关联的”.

求函数y=的定义域，并在数轴上表示出来.

求函数y=arcsin x/3的定义域，并在数轴上表示出来.

函数

试解方程式(x+2)/(x-2)-(x-2)/(x+2)=5/6.

试求方程式(x-2)(x-3)(x-4)=1·2·3之诸根.

二数之和为 36，其大数之二倍较小数之三倍多 2，试问各数为何.

某甲作工若干日，共得工洋 36 圆.如其每日多挣二角，则虽少作二日，亦可得相等之工资.问其每日工价若干，又问其作若干日.

北京师范大学解方程

有甲乙二童赛跑于若干丈之间，甲每分时之速度较乙之 3 倍少 18 丈.若乙先行 48 丈，甲始出发，则经 8 分时同达.问 1 分时甲乙速度各如何？

今有连续二数，其和之平方数较平方之和多 220，问二数为何?

x²+3x+9 =0之两根为______.

南京大学解方程

油价上涨5%后，加一箱油比原来多花 20 元，一个月后油价下降了 4%，则加一箱油需要花【】元