高中数学-竞赛试题(中国数学奥林匹克 2024年圆)

证明题（2024年中国数学奥林匹克）

在△ABC中，I为内心，L,M,N分别为，AI,AC,CI的中点，D在线段AM上，满足BC=BD，△ABD的内切圆切边AD,BD于E,F,J为△AIC的外心，ω为△JMD的外接圆，MN再次交ω于P,JL再次交ω于Q，证明：PQ,LN,EF三线交于一点.

答案解析

解答过程见word版

讨论

三角形

在△ABC中AB<AC<BC.设△ABC的内心为I，内切圆为ω.点X(异于C)在直线BC上，满足过X且平行于AC的直线与圆ω相切.点Y(异于B)在直线BC上，满足过Y且平行于AB的直线与圆ω相切.设直线AI与△ABC的外接圆交于另一点P(异于A).设K与L分别为线段AC和AB的中点.证明：∠KIL+∠YPX=180°.

三等边三角形顶角之外角，二等分线与底边平行.

由直角三角形之直角顶，作其对边之垂线，求证此垂线之平方等于其所分底线两段之积.

设一三角形之底边为 600 尺，其二底角一为 30°，一为 120°，试求其他二边及其高为若干尺。

三角形二边之和大于其他一边.

试言已知三角形之两角及一角之对边,求作其形之方法.

如图，在三角形ABC中∠BAC=60°，BD平分∠ABC，交AC于D，CE平分∠ACB交AB于E，BD和CE交于F，则∠EFB=【】

设 AD 为 ∠ABC 之中线；∠ADB 之平分线交 AB 于E，∠ADC 之平分线交AC 于F，试证 EF// BC.

若三角形的两边不等，它的对不等边的两角也必不等，并且大角必对大边.

△ABC 之边 AC 之三等分点之中，设近于 A 之点为 D，而 BC 之中点为 E时，则 AE 为 BD 所二等分.

圆

在锐角三角形△ABC中，AB>AC,O为外心. 设D为BC上一点，O1,O2分别为△ABD,△ACD的外心，△AO1O2的外接圆与⨀O交于不同于A的点L.证明：A,O,D三点共线当且仅当AL//BC.

如图，在△ABC中，AB>AC,△ABC的内切圆I分别切边BC,CA,AB于点D,E,F.设M为DE的中点，N为DF的中点，直线EF与BC相交于点P，过点P作动直线l交内切圆I于不同的两点G,H,且I,M,G和I,N,H均不共线，△IMG的外接圆与△INH的外接圆交于不同于I的点Q,证明：点Q始终在一个定圆上.

Suppose a convex pentagon ABCDE such that BC=DE.If there exists a point T inside ABCDE suchthat TB=TD TC=TE and ∠ABT=∠TEA. AB meet CD and CT at point P and Q respectively, withP,B,A,Q in this order on the same line. AE meet CD and DT at point R and S respectively, with R,E,A,S in this order on the same line.Prove that P,S,Q,R are on the same circle.译文：设凸五边形ABCDE满足BC=DE.若在ABCDE内存在一点T使得TB=TD,TC=TE且∠ABT= ∠TEA.直线AB分别与直线CD和CT交于点P和Q，且P,B,A,Q在同一直线上按此顺序排列;直线AE分别与直线CD和DT交于点R和S，且R,E,A,S在同一直线上按此顺序排列.证明：P,S,Q,R 四点共圆.

如图所示，四边形ABCD内接于圆，(AB) ̅=5,(AC) ̅=3√5,(AD) ̅=7,∠BAC=∠CAD，则圆的半径为【】

圆内各等弦中点之轨迹为一同心圆周，试证之.

任意之外切四边形，相对两边之和等于其他相对两边之和，试证明之.

If two circles tangent at C and a common exterior tangent touches the circles in A and B, the angle ACB is a right angle.

内接于圆之平行四边形为矩形，其对角线通过圆心，试证明之.

求内接于圆之正六角形与外切正三角形之面积之比.

两圆相外切 (tangent externally) 于 A，又有一外公切线 (common external tangent) 切两圆于 B 及 C，试证 ∠BAC 为直角(right angle).

平面几何

设P为平面凸多边形，若线段AB的两端点在P的边界上，并且过A,B与AB垂直的两条直线之间的区域(含边界)包含P，则称线段AB为“锦弦”. 求最大的正整数k，使得任意平面凸多边形P都有k条锦弦.

在n×n的方格表中，若两个方格有公共边，则称它们是相邻的.若l个互异方格A1,A2,⋯,A_l满足Ai和Ai+1相邻（1≤i≤l-1），则称它们为一条长度为l的“龙”.求最大正整数k，使得可以给每个方格填上0或者1，并且对任意一个方格A，和以A中数字为首项的0,1序列m1,m2,⋯,mk，都存在从A开始的长度为k的龙，方格中的数字依次是m1,m2,⋯,mk.

求最大的正整数n，使得平面上存在n个点P1,P2,⋯,Pn(任意三点不共线)和不过其中任意点的n条直线l1,l2,⋯,ln(任意三线不共点)，满足对任意i≠j，直线Pi Pj,li,lj三线共点.

于四边形之内，取一点不在两对角线之交点之上者，试证明从此点至各顶点之距离之和大于两对角线之和.

PQRS为平面四边形，QR=1，∠PQR= ∠QRS= 70°，∠PQS=15°，∠PRS= 40°.若∠RPS=θ.PQ=α,PS=β，则4αβsinθ属于下列哪个区间【】

试作一正方形，与一已知长方形之面积相等.

求作一四角形，与一已知四角形等角而外切于一定圆.

于三角形 ABC之BC边上任取X点作ABX及ACX两圆.(1)求证此两圆直径之比为AB:AC；(2)若BX:XC=m:n,试示①(m+n)cotAXC=ncotB-mcotC.②(m+n)2 AX2=(m+n)(mb2+nc2 )-mna2，其中a=BC,b=CA,c=AB.

证明：对于一组共轴圆 (co-axial circles) 一定点之诸极线 (polars) 必通过一定点，且一定直线之诸极 (poles) 必在一直线上.

设R为三角形之外接圆半径，试证 acosA+bcosB+ccosC = 4RsinAsinBsinC.