在△ABC中AB<AC<BC.设△ABC的内心为I，内切圆为ω.点X(异于C)在直线BC上，满足过X且平行于AC的直线与圆ω相切.点Y(异于B)在直线BC上，满足过Y且平行于AB的直线与圆ω相切.设直线AI与△ABC的外接圆交于另一点P(异于A).设K与L分别为线段AC和AB的中点.
证明：∠KIL+∠YPX=180°.
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自等边三角形底边上任意一点，引他二边之平行线，所得平行四边形之周围有一定之长.
有 Rt△ABC(C为直角)，以A为圆心，斜边之长为直径作圆，割 AC 于点 D及 AB 于点 O， 自 D 引与 AO 正交之弦 DE，证 △ADE 与 △OCB 全等.
直角三角形之斜边上所画之正三角形之面积，等于其余两边上所画之正三角形之面积之和.
试证同底之三角形且在同平行线内其面积相等，又证明如何作一三角形令其面积等于已知之四边形.
设 D 为 △ABC 之底边 BC 之中点，若顶角 A 为角直角或锐角，则底边BC 分别大于，等于或小于中线 AD 之二倍.试证之.
设 ABC 为一直角三角形，A 为直角，A 之平分线与 BC 交于 D，与此三角形之外接圆交于 B.求证: △ABC 之面积 =1/2 AD×AE.
在锐角三角形△ABC中，AB>AC,O为外心. 设D为BC上一点，O1,O2分别为△ABD,△ACD的外心，△AO1O2的外接圆与⨀O交于不同于A的点L.证明：A,O,D三点共线当且仅当AL//BC.
自 △ABC 的顶点 A 至对边作垂线，自垂足 D 作 AB、AC 过之垂线，其垂足为 E、F，证明 B,E,F,C 共圆.
设O为圆心，AB为弦，延长AB至C，令BC等于圆半径，再引CO交圆于D，求证：∠BOC为∠DOA的1/3.
于任意 △ABC 之各边上向外作等边三角形 BCD，CAE 及 ABF，试证此诸等边三角形的外接圆共点.若此点为 P，则 PA+PB + PC =AD =BE =CF.
在△ABC中，AB=1,AC=3,∠BAC=π/2，半径为r>0的圆与边AB,AC相切，且也内切于△ABC的外接圆，则r的值为__________.
设由圆外一点作一切线一割线，证明此切线为割线及其圆外线分的比例中率.