高中数学-高考试题(上海市 1990年反三角函数)

填空题（1990年上海市）

函数y=arcsinx(x∈[-1,1])的反函数是__________.

答案解析

y=sinx,x∈[-π/2,π/2]

讨论

高中数学

函数y=/(x+2)的定义域是____________.

设N*表示正整数集，求所有的函数f:N* → N*，使得对任意正整数x,y，均有f(f(x)+y)整除x+f(y).

设P是一个凸多面体，满足以下两个性质：(i) P的每一个顶点恰属于 3 个不同的面；(ii) 对任意 k ≥3， P 中 k 边形面都恰有偶数个。有一只蚂蚁从某条棱的中点出发，沿棱爬行，走一条闭合路径 L ，经过 L 上每一点恰好一次，最终回到出发点。 L 将 P 的表面分为两部分，使得对任意的 k ≥3，两部分中 k 边形面的个数相等。求证：蚂蚁在爬行中向左转和向右转的次数相等。

锐角△ABC中，AB>AC，M为其外接圆⊙O的劣弧BC的中点，K为A的对径点，过O作OD∥AM交AB于D，交CA的延长线于E，直线BM交直线CK于P，直线CM交直线BK于Q. 求证：∠OPB+∠OEB=∠OQC+∠ODC.

已知正整数n,恰有36个不同的质数整除n，对k=1,2,3,4,5，记[(k-1)n/5,kn/5]中互质的整数个数为Cn，已知C1,C2,C3,C4,C5不完全相同.求证：(Ci - Cj)2 ≥236.

给定正整数m>1，求正整数n的最小值，使得对任意正整数a1,a2,…,an，b1,b2,…,bn，存在整数x1,x2,…,xn，满足以下两个条件：(1) ∃i∈{1,2,…,n}使得xi与m互质；(2) aixi = bixi ≡ 0(mod m).

设{zn } (n≥1)是复数数列，奇数项为实数，偶数项为纯虚数，且∀k∈N+,|zkzk+1| = 2k，记fn=|z1 + z2 + ⋯ + zn |.(1) 求f2020的最小可能值；(2) 求f2020∙f2021的最小可能值.

设f(x)=lg (1+2x+⋯+(n-1)x+nx a)/n,其中a是实数，n是任意给定的自然数且n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围；(Ⅱ)如果a∈(0,1]，证明：2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.

设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=/2，已知点P(0,3/2)到这个椭圆上的点的最远距离是.求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.

设a≥0，在复数集C中解方程z2+2|z|=a.

反三角函数

cos⁡[arcsin⁡(-4/5)-arccos⁡(-3/5)]的值等于【】

求sin⁡(2arcsin(⁡4/5))的值.

函数f(x)=sinx,x∈[π/2,3π/2]的反函数f-1(x)=【】

英：Prove that汉：证明tan-1(3/4)=2 tan-1(1/3)

求证下列恒等式tan-1⁡m+tan-1⁡n=tan-1⁡(m+n)/(1-mn)

试证下列恒等式2 sec-1⁡x=tan-1⁡

Prove that：tan-1⁡1/3+tan-1⁡1/5+tan-1⁡1/7+tan-1⁡1/8=45°

函数y=cos⁡x+1(-π≤x≤0)的反函数是【】

计算3/2 cos-1+1/4 sin-1⁡(2√2π)/(2+π2 )+tan-1⁡(√2/π)的值为__________.

求arctg(arcsin⁡(√2/2))的值.

三角函数

方程sinx-cosx=的解集是____________________.

方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是【】

如图是函数y=2sin(ωx+φ)(|φ|<π/2)的图像，那么【】

设函数y=arctanx的图像沿x轴正方向平移两个单位所得到的图像为C.又设C'与C关于原点对称，那么C'所对应的图像是【】

已知函数f(x)=2cos⁡(ωx+φ)的部分图像如图所示，则满足条件(f(x)-f(-7π/4))(f(x)-f(4π/3))>0的最小正整数x为______.

解方程：sinx+cosx-1=0

记函数f(x)=sin⁡(ωx+π/4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2/3 π<T<π，且y=f(x)的函数图像关于点(3π/2,2)中心对称，则f(π/2)=【】

函数f(x)=cos⁡x+(x+1)sin⁡x+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为【】

考虑下面2列，选择正确的选项【】列Ⅰ 列Ⅱ(Ⅰ) {x∈[-2π/3,2π/3]:cosx+sinx=1} (P)有2个元素(Ⅱ) {x∈[-5π/18,5π/18]:√3 tan3x=1} (Q)有3个元素(Ⅲ) {x∈[-6π/5,6π/5]:2cos2x=√3} (R)有4个元素(Ⅳ) {x∈[-7π/4,7π/4]:sinx-cosx=1} (S)有5个元素 (T)有6个元素

英：Solute the equation汉：解方程sin4θ+sinθ=0