高中数学-高考试题(山东省 2020年直角坐标系与极坐标系)

不定项选择（2020年山东省）

已知曲线 C : mx² + ny² = 1. 【】

A、若 m > n > 0, 则 C 是椭圆, 其焦点在 y 轴上

B、若 m = n > 0, 则 C 是圆, 其半径为

C、若 mn < 0, 则 C 是双曲线, 其渐近线方程为 y = ±x

D、若 m = 0, n > 0, 则 C 是两条直线

答案解析

ACD

讨论

高中数学

若定义在 R 的奇函数 f(x) 在 (−∞, 0) 单调递减, 且 f(2) = 0, 则满足 xf(x − 1) ⩾ 0 的 x 的取值范围是【】

已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点, 则• 的取值范围是【】

基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数. 基本再生数指一个感染者传染的平均人数, 世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间. 在新冠肺炎疫情初始阶段, 可以用指数模型: I(t) = ert 描述累计感染病例数 I(t) 随时间 t (单位: 天) 的变化规律, 指数增长率 r 与 R0, T 近似满足 R0 = 1 + rT. 有学者基于已有数据估计出 R0 = 3.28, T = 6. 据此, 在新冠肺炎疫情初始阶段, 累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln 2 ≈ 0.69)【】

某中学的学生积极参加体育锻炼, 其中有 96% 的学生喜欢足球或游泳, 60% 的学生喜欢足球, 82% 的学生喜欢游泳, 则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是【】

日晷是中国古代用来测定时间的仪器, 利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间. 把地球看成一个球 (球心记为 O) , 地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角, 点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面. 在点 A 处放置一个日晷, 若晷面与赤道所在平面平行, 点 A 处的纬度为北纬 40°, 则晷针与点 A 处的水平面所成角为【】

6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者, 每名同学只去 1 个场馆, 甲场馆安排 1 名, 乙场馆安排 2 名, 丙场馆安排 3 名, 则不同的安排方法共有【】

(2-i)/(1+2i) =【】

设集合 A = {x | 1 ⩽ x ⩽ 3}, B = {x | 2 < x < 4}, 则 A ∪ B =【】

设函数 f(x) = x3 + bx + c, 曲线 y = f(x) 在点 (1/2 , f(1/2))处的切线与 y 轴垂直.(1) 求 b;(2) 若 f(x) 有一个绝对值不大于 1 的零点, 证明: f(x) 的所有零点的绝对值都不大于 1.

如图, 在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中, 点 E, F 分别在棱 DD1, BB1 上, 且 2DE = ED1, BF = 2FB1.(1) 证明: 点 C1 在平面 AEF 内;(2) 若 AB = 2, AD = 1, AA1 = 3, 求二面角 A − EF − A1 的正弦值.

直角坐标系与极坐标系

某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虛轴)旋转所成的曲面,其中A,A'是双曲线的顶点,C,C是冷却塔上口直径的两个端点，B,B'是下底直径的两个端点,已知AA'=14 m, CC'=18 m,BB'=22 m,塔高20 m.(Ⅰ)建立坐标系并写出该双曲线方程;(Ⅱ)求冷却塔的容积(精确到10m3 ,塔壁厚度不计,π取3.14).

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点，点P满足=，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.

如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A,B为端点的曲线段C上的任意一点到l2的距离与点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=,|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.

Find the equation in polar coordinates of the straight line which is perpendicular to the polar axes at a distance of 5 units from the pole.

某中学开展劳动实习, 学生加工制作零件, 零件的截面如图所示. O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心, A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点, B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点, 四边形 DEFG 为矩形, BC⊥DG, 垂足为 C, tan∠ODC = 3/5, BH//DG, EF = 12cm, DE = 2cm, A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm, 圆孔半径为 1 cm, 则图中阴影部分的面积为 __________c㎡.

为加强环境保护, 治理空气污染, 环境监测部门对某市空气质量进行调研, 随机抽查了 100 天空气中的 PM2.5和SO2 浓度 (单位: ug/m3), 得下表:(1) 估计事件“该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75, 且SO2 浓度不超过 150”的概率;(2) 根据所给数据, 完成下面的 2 × 2 列联表:(3) 根据 (2) 中的列联表, 判断是否有 99% 的把握认为该市一天空气中 PM2.5 浓度与SO2 浓度有关?附：

已知函数 f(x) = aex−1 − ln x + ln a.(1) 当 a = e 时, 求曲线 y = f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2) 若 f(x) ⩾ 1, 求 a 的取值范围.

信息熵是信息论中的一个重要概念. 设随机变量 X 所有可能的取值为 1, 2, … , n, 且 P (X = i) = pi >0 (i = 1, 2, …, n), =1, 定义 X 的信息熵 H(X) = −log2 pi.【】

将数列 {2n − 1} 与 {3n − 2} 的公共项从小到大排列得到数列 {an}, 则 {an} 的前 n 项和为 __________.

如图, 四棱锥 P − ABCD 的底面为正方形, PD ⊥ 底面 ABCD. 设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l.(1) 证明: l ⊥ 平面 P DC;(2) 已知 PD = AD = 1, Q 为 l 上的点, 求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值.

坐标系*

在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 的参数方程为 (t 为参数且 t ≠ 1), C 与坐标轴交于 A, B 两点.(1) 求 |AB|;(2) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求直线 AB 的极坐标方程.

极坐标方程ρ2cos2θ=1所表示的曲线是【】

在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin⁡(θ+π/3)+m=0.(1) 写出l的直角坐标方程；(2) 若l与C有公共点，求m的取值范围.

已知 F 为双曲线 C : =1 (a > 0, b > 0) 的右焦点, A 为 C 的右顶点, B 为 C 上的点, 且 BF垂直于 x 轴. 若 AB 的斜率为 3, 则 C 的离心率为 __________.

以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是【】

极坐标方程ρ=2sin⁡(θ+π/4)的图形是【】

已知直线的极坐标方程为ρsin⁡(θ+π/4)=/2，则极点到该直线的距离是______.

在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A,B两点,则|AB|=________.

试论下列函数并绘其图形ρ = 2(1 - cosθ)

设0<θ<π/2，曲线x2sin⁡θ+y2cos⁡θ=1和x2cos⁡θ-y2sin⁡θ=1有4个不同的交点.（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围.