大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 2025年反常积分的审敛法)

单项选择（2025年理工数学Ⅱ）

如果对微分方程y''-2ay'+(a+2)y=0的任一解y(x)，反常积分∫₀^+∞y(x)dx均收敛，则a的取值范围是【】

A、(-2,-1]

B、(-∞,-1]

C、(-2,0)

D、(-∞,0)

答案解析

C

【解析】

解答过程见word版

讨论

反常积分的审敛法

设函数f是(0,1]上无界的单调函数，且广义积分f(x) dx收敛，证明：1/n f((k-1)/n) =f(x)dx

北京邮电大学反常积分的审敛法

证明：广义积分lnx/√x dx收敛.

先说明广义积分dx/(a4+x4 )收敛（a>0是常数），再计算其积分值.

求积分I(a)=arctan⁡(ax)/(x(1+x2)) dx,a>0.

判断dx/(ex+1)的敛散性.

设函数f(x)在[0,+∞)连续、非负，且广义积分f(x)dx收敛，证明：xf(x)dx=0.

证明含参广义积分F(a)=e-axsinxdx在(0,+∞)连续，但非一致收敛.

设[a,+∞)上非负连续函数f可导，且具有连续导函数，若存在r>1，使xf'(x)/f(x)≤-r，证明：反常积分f(x)dx收敛.

设p为常数，若反常积分lnx/(xp(1-x)1-p) dx收敛，则p的取值范围是【】

定积分

计算(1/t-[1/t]) dt

设函数f(x)=sint3dt,g(x)=f(t)dt，则【】

设函数f(x)=ecostdt,g(x)=et² dt，则【】

设I=|sinx|dx,k为整数，则I的值【】

5/(x4+3x2-4)dx__________.

证明：1/T sinatcosbt/t dt=

求含参积分I(y)=e-x²cos⁡(2xy) dx.

计算e-1/4s s-3/2e-s ds

用含参量积分求arctanx/x dx

证明：(xlnx)ndx=(-1)nn!/(n+1)n+1 ，并利用此结论证明：x-x dx=1/nn .

齐次微分方程

若函数f(x)满足f'' (x)+af' (x)+f(x)=0(a>0)，且f(0)=m,f' (0)=n，则f(x)dx=________.

设y(x)为微分方程x²y''+xy'-9y=0满足条件 y|x=1=2, y'|x=1=6的解.(1)利用变换x=et将上述方程化为常系数线性方程，并求y(x)；(2)计算y(x)dx.

设f(x)=sinx-(x-t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(x).

北京大学齐次微分方程

北京大学齐次微分方程

函数f(x)=|x|1/(1-x)(x-2)的第一类间断点的个数是【】

设函数y=f(x)由参数方程确定，则⁡x[f(2+2/x)-f(2)]=【】

已知数列{an}(an≠0)，若{an}发散，则【】

已知函数f(x,y)=，则在点(0,0)处【】

设f(x,y)是连续函数，则dxf(x,y)dy=【】