高中数学-高考试题(上海市 2024年对数函数)

问答题（2024年上海市）

若f(x)=log_a⁡x (a>0,a≠1).

(1)若y=f(x)过(4,2)，求f(2x-2)<f(x)的解集；

(2)存在x使得f(x+1),f(ax),f(x+2)成等差数列，求a的取值范围.

答案解析

解答过程见word版

讨论

基本不等式

若实数τ满足：对任意正整数x,y,z，均有x²+2y²+4z²+8≥2x(y+z+τ)则称τ为“平生数”.记最大的平生数为τ0.(1)求τ0的值；(2)求方程x²+2y²+4z²+8=2x(y+z+τ0)的所有正整数解(x,y,z).

设a,b,c,d∈(0,1)，满足a²+b²+c²+d²=3，证明：(1-a²)/(b+c)+(1-b²)/(c+d)+(1-c²)/(d+a)+(1-d²)/(a+b)<2/3.

已知x,y,z>0，判断s=x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) 是否存在最大值与最小值.

已知函数 f(x) = 2x − x − 1, 则不等式 f(x) > 0 的解集是【】

不等式(2-x)/(x+4)>0的解集是__________.

已知 a, b ∈ R 且 ab ≠ 0, 若 (x − a)(x − b)(x − 2a − b) ⩾ 0 在 x ⩾ 0 上恒成立, 则【】

解不等式2 + (5-x) + log2(1/x) > 0.

不等式>3-2x的解集是__________.

已知 a > 0, b > 0, 且 a + b = 1, 则【】

已知 a > 0, b > 0, 且 ab = 1, 则 1/(2a)+1/(2b)+8/(a+b)的最小值为_______.

对数函数

已知a>1，且1/log8⁡a -1/loga⁡4 =-5/2，则a=______.

已知log5(x2+2x-2) = 0 , 2log5(x+2) - log5y + 1/2 = 0，求y的值.

log89/log23 的值是【】

若loga2<logb2<0，则【】

基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数. 基本再生数指一个感染者传染的平均人数, 世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间. 在新冠肺炎疫情初始阶段, 可以用指数模型: I(t) = ert 描述累计感染病例数 I(t) 随时间 t (单位: 天) 的变化规律, 指数增长率 r 与 R0, T 近似满足 R0 = 1 + rT. 有学者基于已有数据估计出 R0 = 3.28, T = 6. 据此, 在新冠肺炎疫情初始阶段, 累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln 2 ≈ 0.69)【】

已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是【】

若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a⁡(x+1))满足f(x)>0,则a的取值范围是【】

若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a⁡(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围是【】

青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV，已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)【】

设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=-1，则【】

等差数列

记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4=7,3a2+a5=5，则S10=________.

用f(n)表示整数n的二进制中数码“1”占所有数码的比例，例如21=(10101)2，则f(21)=3/5.(1)是否存在由21个不超过2024的正整数构成的非常值等差数列a1,a2,⋯,a21，使得f(a1)=f(a2)=⋯=f(a21)？证明你的结论.(2)是否存在无穷多个正整数m，使得f(m²)>7/10？证明你的结论.

记Sn为等差数列{an}的前n项和. 已知S5=S10,a5=1，则a1=【】

等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=1，则a3+a7=【】

设{an}与{bn}是两个不同的无穷数列，且都不是常数数列，记集合M={k|ak=bk,k∈N*}，给出下列4个结论：①若{an}与{bn}均为等差数列，则M中最多有1个元素；②若{an}与{bn}均为等比数列，则M中最多有3个元素；③若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则M中最多有3个元素；④若{an}为递增数列，{bn}为递减数列，则M中最多有1个元素.其中正确结论的序号是________.

已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为1/4的等差数列，则|m-n|=【】

设{an}是等差数列；{bn}是等比数列；a1=b1=a2-b2=a3-b3=1.(1)求{an}与{bn }的通项公式；(2)设{an}的前n项和为Sn，求证：(Sn+1+an+1 ) bn=Sn+1 bn+1-Sn bn；(3)求∑k=12n(ak+1-(-1)k ak ) bk .

等差数列{an}的各项均为正数，首项与公差相等，=2，则a4的值为【】

设l1,l2,⋯,l100是公差为d1的等差数列的前100项，w1,w2,⋯,w100是公差为d2的等差数列的前100项，且d1 d2=10.设Ai表示边长分别为li和wi的矩形的面积，若A51-A50=1000，则A100-A90的值为__________.

设a1,a2,⋯为首项为7，公差为8的等差数列，对于∀n≥1,T1,T2,⋯满足T1=3,Tn+1-Tn=an，则以下选项正确的是【】