高中数学-高考试题(北京大学 1949年三角恒等变换)

证明题（1949年北京大学）

若A+B+C =nπ (n 为整数).

求证：sin2A + sin2B + sin2C = (-1)^n-1 · 4sinA · sinB · sinC

答案解析

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讨论

高中数学

若 kxy - 8x + 9y - 12 = 0 表示二条直线，求 k 值及此二直线所夹的角.

一动圆与 (x - 2)² +y² =1及 Y 轴皆相切，求动圆圆心之轨迹方程.

天津大学行列式

析(3x²+x-2)/(x-2)²(1-2x)为部分分式.

求圆锥曲线 x² +y² = 49 及 x² +y² - 20y +90 =0之公切线的长.

求圆锥曲线 2x²-8xy - 4y² - 4y +1=0 之焦点及准线.

某人在高处望见正东海面上一船首，其俯角为 30°，当船向正南行 a 里后，求得船首俯角为 15°，问此人之视点高出海面若干?

设一四面体有一三面角与另一四面体的一三面角对称，求证：其体积之比等于此两三面角三棱分别的乘积之比.

Find the locus of point which moves so that the sum of its distance from the points (-7, 4) and (9, 4) is always 20 units. Determine the center, foci, vertices,axis and eccentricity. Locate all points.

Show that the tangents to the parabola y² = 4px at the extremities of the latus return are perpendicular and meet at the intersection of the directrix with a-axis.

三角恒等变换

函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为【】

证明：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

证明：cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB.

试证(cosA+sinA)/(cosA-sinA)=tan2A+sec2A.

试证 (tana+tanb)/(tana-tanb)=sin⁡(a+b)/sin⁡(a-b).

设A,B,C 为一三角形之三角，试证 sin²A+sin²B+sin²C = 2+2cosAcosBcosC.

求证 sin⁡(x+y)/sin⁡(x-y)=(tanx+tany)/(tanx-tany)

证明 (sin²⁡A-sin²⁡B)/(sinAcosA-sinBcosB)=tan⁡(A+B).

若A+B+C=180°，证sinA+sinB-sinC=4 sin⁡(A/2)sin(B/2)sin(C/2).

已知sinA=4/5，求sin⁡(A/2),cos(A/2),tan(A/2),sin2A,cos2A,tan2A.

三角函数

已知 f(x) = sinωx, ω> 0.(1) T = 4π, 求ω及f(x)=1/2时的解集;(2) ω = 1, g(x)=[f(x)]2-f(-x)f(π/2-x), 求 x∈[0,π/4] 时 g(x) 的值域.

不查表，求 cos80°cos35°＋ cos10°cos55°的值．

设三角函数f(x)=sin⁡(kx/5+π/3)，其中k≠0.(Ⅰ) 写出f(x)的极大值M 、极小值 m 与最小正周期T; (Ⅱ) 试求最小的正整数k，使得当自变量 x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是 M 与一个值是 m .

已知0<α<π.证明：2sin2α≤cot(α/2)；并讨论α为何值时等号成立.

函数y=arcsin(sinx)中，x的取值范围是__________.

函数y=sin(arcsinx)中，x的取值范围是__________.

如果θ是第二象限角，且满足cos(θ/2)-sin(θ/2)=，那么θ/2 【】

函数y=sin2xcos2x是【】

函数y=3sin(x/2+π/3)的周期、振幅依次是【】

已知sinθ-cosθ=1/2，求sin3θ - cos3θ的值.