高中数学-高考试题(华南联合大学 1946年三角恒等变换)

计算题（1946年华南联合大学）

已知sinA=4/5，求sin⁡(A/2),cos(A/2),tan(A/2),sin2A,cos2A,tan2A.

答案解析

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讨论

高中数学

证从平行四边形之一顶点作线至对边之中点，三等分四边形之对角线.

解 3cotx +2(sinx - cos x) =3.

若A+B+C=180°，证sinA+sinB-sinC=4 sin⁡(A/2)sin(B/2)sin(C/2).

三角形内任意一点至三顶点 A,B,C 的延长线交对边于 P,Q,R，则BP/CP×CQ/AQ×AR/BR=1.

试证三角形之高为垂足所成三角形之各角的角二等分线.

有 0,1,2,3,4,5,6,7 八个数字，可组成小于 10000 之数字有几？

解方程式x5-5x4-5x3+25x2+4x-20=0，已知各根为a,-a,b,-b,c等形式.

P -ABC 为一正三角锥，其底面三角形 ABC 正三角形之每边为 10 尺，而APB、BPC、CPA 三个面角均为 30°，求此三角锥之高.

F 点为抛物线 y² = 16x 之焦点，O 点为顶点，P 点为抛物线上任一点，PQ 为切线，自 O 点至 PQ 线之垂线与 FP 线相交 R 点，求 R 点之轨迹之方程式并绘其图形.

讨论方程式y=(x²+2x+3)/(2x²+3x+4)并绘其轨迹.

三角恒等变换

已知π/2<β<α<3π/4,cos⁡(α-β)=12/13,sin⁡(α+β)=-3/5,求sin2α的值.

已知θ是第三象限角，且sin4θ + cos4θ = 5/9，那么sin2θ等于【】

证明：(1+tanα)2=(1+sin2α)/cos2α.

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos⁡A/(1+sin⁡A )=(sin⁡2B)/(1+cos⁡2B)．（1）若C=2π/3，求B；（2）求(a2+b2)/c2 的最小值．

角α,β满足sin⁡(α+β)+cos⁡(α+β)=2√2 cos⁡(α+π/4)sin⁡β，则【】

已知函数f(x)=cos2⁡x-sin2⁡x，则【】

若函数f(x)=Asin⁡x-√3cos⁡x的一个零点为π/3，则A=________；f(π/12)=________．

若3sin⁡α-sin⁡β=√10,α+β=π/2，则sin⁡α=__________，cos⁡2β=_________．

函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为【】

证明：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

三角函数

函数y=tan⁡(1/2 x - 1/3 π)在一个周期内的图像是【】

函数y=sin⁡(π/3 - 2x)+cos⁡2x的最小正周期是【】

sin600°的值是【】

已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是【】

在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，设a+c=2b,A-C=π/3，求sin⁡B的值.以下公式供解题是参考：sinθ+sinφ=2sin (θ+φ)/2 cos (θ-φ)/2，sinθ-sinφ=2cos (θ+φ)/2 sin (θ-φ)/2,cosθ+cosφ=2cos (θ+φ)/2 cos (θ-φ)/2,cosθ-cosφ=-2sin (θ+φ)/2 sin (θ-φ)/2.

函数f(x)=M sin⁡(ωx+φ) (ω>0)在区间[a,b]上是增函数，且f(a)=-M,f(b)=M，则函数g(x)=M cos⁡(ωx+φ)在[a,b]上【】

若f(x)sin⁡x是周期为π的奇函数，则f(x)可以是【】

若sinα>tanα>cotα(-π/2<a<π/2)，则α∈【】

函数y=-xcos⁡x的部分图像是【】

已知函数y=1/2 cos2⁡x+/2 sin⁡xcos⁡x+1,x∈R.（I）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（II）该函数的图像可由y=sin⁡x (x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？