高中数学-高考试题(上海交通大学 1931年代数式)

计算题（1931年上海交通大学）

Factor the following expressions:

a(b + c)² + b(c + a)² + c(a + b)² - 4abc

答案解析

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讨论

高中数学

英：Find the equation to the normal to hyperbola x2/a2 -y2/b2 =1 at the point (x1,y1) . 汉：求双曲线x2/a2 -y2/b2 =1在点(x1,y1)处的法线方程.

英：Find the equations to the tangents to the ellipse 3x²+ y² = 3, inclined at angle of 45° to the axis of x.汉：求椭圆 3x²+y²=3之与x轴夹角为 45°的切线方程.

英：Find the equation to the straight line which passes through the points(2,5)and (0,-7).汉：求过(2,5)和(0,-7)两点的直线方程.

英：Find the value of , when x=1.汉：当x=1时,求之值.

英：If α,β,c are the roots of the equation x3-px2+qx-c=0, find the value of α2+β2+c2.汉：若α,β,c为x3-px2+qx-c=0的三个根，求 α2+β2+c2之值.

英：If (1-x)n=c0+c1 x+c2 x2+⋯+cn xn, find the value of c0+2c1+3c2+⋯+(n+1) cn.汉：若(1-x)n=c0+c1 x+c2 x2+⋯+cn xn,求c0+2c1+3c2+⋯+(n+1) cn之值.

英：Show how to describe a triangle having given its angles and its perimeter.汉：己知三角形三角及周长，解此三角形.

英：Prove that汉：证明tan-1(3/4)=2 tan-1(1/3)

英：Solute the equation汉：解方程sin4θ+sinθ=0

试证(cosA+sinA)/(cosA-sinA)=tan2A+sec2A.

线性代数

南京大学行列式

设x>y>z，证明：1/(yz+zx+xy) <0.

若α,β,γ为方程x³+ax²+bx+c=0之根，试求行列式D=的值，但不许展开此行列式.

分解因式x2y - 2y3.

试将下列繁分数简单之：

有人定酒二坛，两坛所盛斤数不等，原定一盛甲酒每斤8角，一盛乙酒每斤5角.今误将甲坛盛乙酒，乙坛盛甲酒，酒商要求加洋一元五角.问两坛斤数各几何?

若a:b=c:d，试证(a2+b2):a3/(a+b)=(c2+d2):c3/(c+d).

化简((x2-y2)(2x2-2xy))/4(x-y)2-xy/(x+y)

约写下式A2/(A-B)(A-C)+B2/(B-C)(B-A)+C2/(C-A)(C-B).

代数式

析a2b+ab2-a2c+ac2-2abc-b2c+bc2之因式.

若 x³ + 3px² + 3qx +r 及 x² + 2px +q 有一个一次公因子，试问 p,g,r 之间应有何种关系？又若有两个一次公因子，则其关系又若何?

分x3/(x+1)4 为分项分数.

析(3x²+x-2)/(x-2)²(1-2x)为部分分式.

若下式(x+p)(x+2q)+(x+2p)(x+q)为含有x的整平方式，则9p²-14pq+9q²=0.

若(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)+(x+a)(x+b)为含x的整平方式，则a=b=c.

若 a² = ab,则a=b 对不对? 为什么?

设x为实数，试证：(x²-6x+5)/(x²+2x+1)之值不小于-1/3.

试分解(x²+x-3)/(x-1)(x-2)(x-3)为最简部分分式.

将f(x)=x³-3x²+5x+6的根增一常数，使变后的方程缺x²项.