高中数学-高考试题(北京工业大学 1919年代数式)

问答题（1919年北京工业大学）

有人定酒二坛，两坛所盛斤数不等，原定一盛甲酒每斤8角，一盛乙酒每斤5角.今误将甲坛盛乙酒，乙坛盛甲酒，酒商要求加洋一元五角.问两坛斤数各几何?

答案解析

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讨论

高中数学

试将下列繁分数简单之：

我国邮政贮金，规定常年4厘2毫.于六月、十二月底结算，可以利息加入本金，但不满一元者不计，今有人以500元于六月底存入，由七月一号起算利息，问三年后可得本利共若干元?

农夫四名，每日工作14小时，5日间可耕田15亩，问用农夫七名，每日工作 13小时，几日可耕田39/2亩?

北京工业大学映射与函数

由甲地至乙地，若每时行 32 丈，则比预定时间迟2小时可到，若每小时行 56 丈，则比预定时间早1小时可到，问依预定时间每时应行之速?

有甲、乙两人，甲所有银为乙之五倍，其后甲得30元，乙得80元，则甲所有为乙之二倍，问甲、乙原各有银几何?

设2sinA=cosA,求sinA及cosA之值.

设两弦于圆内相交，其两线分之积，彼此相等，试证明之.

北京师范大学代数式

220之竞走，甲许乙先发5码，乙许丙先发9码，则无胜负；若于880码竞走，问甲许丙先发 50 码，尚胜若干码?

线性代数

若(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)+(x+a)(x+b)为含x的整平方式，则a=b=c.

若 a² = ab,则a=b 对不对? 为什么?

设x为实数，试证：(x²-6x+5)/(x²+2x+1)之值不小于-1/3.

分解(x2-2x+5)/(x4-4x3+5x2-4x+4)为最简部分分式.

设 A,B 为 x 的两个有理整式，请用辗转相除法说明并证明何种情况为互质，何种情况下有公因式.有公因式时，说明求最高公因式之方法并证明之.

求所有的n∈N*，使得存在n阶实矩阵A,B，满足对任意的n维非零实向量v,Av,Bv线性无关.

给定素数p和正整数 n(n≥2).A为n个p阶循环群的直和.问:至少需要几个A的真子群,才能使他们的并集能覆盖A？

A polynomial P with integer coefficients is square-free if it is not expressible in the form P=Q² R, where Q and R are polynomials with integer coefficients and Q is not constant. For a positive integer n, let Pn be the set of polynomials of the form1+a1 x+a2 x²+⋯+an xnwith a1,a2,⋯,an∈{0,1}. Prove that there exists an integer N so that, for all integers n>N, more than 99% of the polynomials in Pn are square-free.【译】我们称整系数多项式P是无平方因子的，如果其不能表示为P=Q² R的形式，这里Q,R为整系数多项式且Q不为常数.对于正整数n，记Pn为如下形式的多项式组成的集合：1+a1 x+a2 x²+⋯+an xn这里a1,a2,⋯,an∈{0,1}.证明：存在整数N，使得对任意的整数n≥N,Pn中超过99%的多项式都是无平方因子的.

令A,B,C,D,E,F是三阶实方阵，且=.已知A=,B=且C=A+B-I，则[|detF|]=______.

设20阶实矩阵A满足eA=I20，且A在复数域上的所有特征值模长均不超过20，则这样的互不相似的A有______个.

代数式

有理数加群(Q,+)，记所有分母不超过10的有理数构成的子集为G，其对应的陪集GZ记为G ̅，则Q/Z包含G ̅的最小子群的阶为______.

分解因式：x2-4xy+4y2-4z2.

甲乙两容器内都盛有酒精，甲有v1公斤，乙有v2公斤.甲中纯酒精与水（重量）之比为m1:n1，乙中纯酒精与水之比为m2:n2，问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？

将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式：1. 有理数范围； 2. 实数范围；3. 复数范围．

如果n是正整数，那么1/8[1-(-1)n](n2-1)的值【】

已知正整数n,恰有36个不同的质数整除n，对k=1,2,3,4,5，记[(k-1)n/5,kn/5]中互质的整数个数为Cn，已知C1,C2,C3,C4,C5不完全相同.求证：(Ci - Cj)2 ≥236.

安徽省代数式

安徽省代数式

分解因式：a2-2ab+b2-6a+6b+5.

分解因式x2y - 2y3.