高中数学-高考试题(北京工业大学 1919年映射与函数)

问答题（1919年北京工业大学）

有甲、乙两人，甲所有银为乙之五倍，其后甲得30元，乙得80元，则甲所有为乙之二倍，问甲、乙原各有银几何?

答案解析

根据题意，如果原来乙的钱数为1个单位，则原来甲的钱数为5个单位，由“甲得30元，乙得80元后，甲为乙的两倍”得：5个单位加30元，等于为1个单位加80元的两倍，即2个单位加160元，∴3个单位（5-2...

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讨论

高中数学

设2sinA=cosA,求sinA及cosA之值.

设两弦于圆内相交，其两线分之积，彼此相等，试证明之.

北京师范大学代数式

220之竞走，甲许乙先发5码，乙许丙先发9码，则无胜负；若于880码竞走，问甲许丙先发 50 码，尚胜若干码?

证明：cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB.

证明：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

由直角三角形之直角顶，作其对边之垂线，求证此垂线之平方等于其所分底线两段之积.

求解 (4x-17)/(x-4)+(10x-13)/(2x-3)=(8x-30)/(2x-7)+(5x-4)/(x-1)

有人持钱购物，初用去其三分之一，又用其剩余者八分之五，尚余铜元30枚问其人原持钱若干?

三等边三角形顶角之外角，二等分线与底边平行.

映射与函数

求函数y=arcsin x/3的定义域，并在数轴上表示出来.

Let R+ denote the set of positive real numbers. Find all functions f:R⟶R such that for each x∈R+, there is exactly one y∈R+ satisfying：xf(y)+yf(x)≤2.译文：设R+表示所有正实数构成的集合.求所有函数f:R+→R+，使得对任意x∈R+，恰好有一个y∈R+满足条件：xf(y)+yf(x)≤2.

设函数f(x)=，若f(x0)>1，则x0的取值范围是【】

定义函数f(x)代表|x|-2与x2-ax+3a-5中较小的数.若f(x)至少有3个零点，则a的取值范围为__________.

若xi为大于1的整数，记f(xi)为xi的最大素因数.令xi+1=xi-f(xi)（i为自然数）.(1)证明：对任意大于1的整数x0，存在自然数k(x0)，使得xk(x0)+1=0;(2)令V(x0)为f(x0 ),f(x1 ),⋯,f(xk(x0))中不同的个数，求V(2),V(3),⋯,V(781)中的最大数，并说明理由.

函数f,g:R⟶R定义为f(x)=x²+5/12,g(x)=,区域{(x,y)∈R×R||x|≤3/4,0≤y≤min⁡[f(x),g(x)]}的面积为α，则9α的值为________.

函数 f(x) = 1/(x+1)+lnx 的定义域是__________.

已知 f(x) = x3, 则 f−1(x) =______.

设 a ∈ R, 若存在定义域为 R 的函数 f(x) 满足: ① 对任意 x0 ∈ R, f(x0) 的值为 x02 或 x0; ② 关于 x 的方程 f(x) = a 无实数解. 则 a 的取值范围是_______________.

求函数y=的定义域.

函数

函数f(x)=1/x (x≠0)的反函数f-1 (x)=【】

设曲线C的方程是y=x3 - x，将C沿x轴，y轴正向分别平行移动t,s单位长度后得曲线C1.(Ⅰ)写出曲线C1的方程；(Ⅱ)证明曲线C与C1关于点A(t/2,s/2)对称；(Ⅲ)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=t3/4 - t且t≠0.

若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab≠0，则g(b)等于【】

已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)的图像经过点Q(5,2),则b=______.

设函数y=f(x)是最小正周期为2的偶函数,它在区间[0,1]上的图像为如图所示的线段AB,则在区间[1,2]上,f(x)=__________.

设f(x),g(x)都是单调函数,有如下四个命题：①若f(x)单调递增, g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递增;②若f(x)单调递增, g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递增;③若f(x)单调递减, g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递减;④若f(x)单调递减, g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递减;其中，正确的命题是【】

设f(x)是定义R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意x_1,x_2∈[0,1/2]，都有f(x1+x2 )=f(x1)f(x2)，且f(1)=a>0.（Ⅰ）求f(1/2)及f(1/4)；（Ⅱ）证明f(x)是周期函数；（Ⅲ）记an=f(2n+1/2n)，求 (lnan).

函数y=2-x+1(x>0)的反函数是【】

×(-6/11)+0.25-(-2)3÷(-)2.

设f(x)是定义R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈[0,1/2]，都有f(x1+x2 )=f(x1)f(x2)，且f(1)=a>0.(Ⅰ)求f(1/2)及f(1/4)；(Ⅱ)证明f(x)是周期函数；(Ⅲ)记an=f(2n+1/2n)，求(lnan).