高中数学-竞赛试题(巴尔干数学竞赛 2025年映射与函数)

问答题（2025年巴尔干数学竞赛）

求所有的函数f:R→R，使得对任意实数x,y，都有f(x+yf(x))+y=xy+f(x+y).

答案解析

解答过程见word版

讨论

高中数学

如图，在锐角△ABC中，H是垂心，D是边BC上任意一点，点E,F分别在边AB,AC上，满足A,B,D,F和A,C,D,E共圆，线段BF与CE交于点P,L是AH上的一点，且LC与△PBC的外接圆相切，BH,CP交于点X，求证：D,X,L三点共线.

称整数n>1是好数，如果存在1,2,⋯,n的一个排列a1,a2,⋯,an，满足：⑴ 对1≤i≤n-1,ai与ai+1不同奇偶；⑵ 对1≤k≤n,a1+a2+⋯+ak是模n的二次剩余.求证：存在无穷多个好数，也存在无穷多个正整数不是好数.

已知a1,a2,⋯,an为实数，且∑i=1nai =n,∑i=1nai² =2n,∑i=1nai³ =3n.(1)求最大的常数C，使得对所有n≥3，均有max⁡{a1,a2,⋯,an }-min⁡{a1,a2,⋯,an }≥C；(2)证明存在常数C2>0使得max⁡{a1,a2,⋯,an }-min⁡{a1,a2,⋯,an }+C≥C2n-3，其中C为(1)中的常数.

设p为给定素数，f为{0,1,…,p-1}到自身的一个双射.若f满足：当p|a²-b²时，|f(a)-f(b)|≤2024.求证：有无穷多个p使得f存在，也有无穷多个p使得f不存在.

对于R²中任意两点(x1,y1 ),(x2,y2)，定义该两点之间的小数距离为：√(‖x1-x2 ‖²+‖y1-y2 ‖² )其中‖x‖表示实数x离最近整数的距离.求最大的实数r，使得平面上存在四个点，两两之间的小数距离均不小于r.

给定整数a1>a2>⋯>an>1，记M=lcm(a1,a2,⋯,an )，对任意非空有限正整数集X，定义f(X)=min1≤i<n⁡∑x∈X{x/ai } 若对X的任意真子集Y，有f(Y)<f(X)，则称X是极小的.设X是极小的，且f(X)≥2/an .求证：|X|≤f(X)∙M.

在△ABC中，I为内心，L,M,N分别为，AI,AC,CI的中点，D在线段AM上，满足BC=BD，△ABD的内切圆切边AD,BD于E,F,J为△AIC的外心，ω为△JMD的外接圆，MN再次交ω于P,JL再次交ω于Q，证明：PQ,LN,EF三线交于一点.

给定无理数α>1,L∈Z，满足L>α²/(α-1)，数列{xn}满足x1>L，且xn+1=(1)证明：{xn}最终周期；(2)证明：{xn}最终的最小正周期是一个与x1无关的奇数.

记Q是所有理数的集合.一个函数f:Q→Q称为神奇函数，如果对任意x,y∈Q均有下述两个等式：f(x+f(y))=f(x)+y,f(f(x)+y)=x+f(y)至少有一个成立.证明：存在整数c满足对任意一个神奇函数f，至多存在c个两两不同的有理数可以表示为f(r)+f(-r)的形式(r∈Q)，并求满足上述要求的最小整数c.

憨豆特工在一个2024行2023列的方格表上做游戏.方格表中恰有2022个方格各藏有一个坏人.初始时,憨豆不知道坏人的位置,但是他知道除了第一行和最后一行之外,每行恰有一个坏人,且每列至多有一个坏人.憨豆想从第一行移动到最后一行,并进行若干轮尝试,在每一轮尝试中,憨豆可以在第一行中任意选取一个方格出发并不断移动,他每次可以移动到与当前所在方格有公共边的方格内.(他允许移动到之前已经到达过的方格.)若憨豆移动到一个有坏人的方格,则此轮尝试结束,并且他被传送回第一行开始新的一轮尝试,坏人在整个游戏过程中不移动,并且憨豆可以记住每个他经过的方格内是否有坏人.若憨豆到达最后一行的任意一个方格,则游戏结束.求最小的正整数n,使得不论坏人的位置如何分布,憨豆总有策略可以确保他能够经过不超过n轮尝试到达最后一行.

映射与函数

已知f(x)=，则f(3)=______.

已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是【】

设函数f(x)=，若f(x0)>1，则x0的取值范围是【】

定义函数f(x)代表|x|-2与x2-ax+3a-5中较小的数.若f(x)至少有3个零点，则a的取值范围为__________.

若xi为大于1的整数，记f(xi)为xi的最大素因数.令xi+1=xi-f(xi)（i为自然数）.(1)证明：对任意大于1的整数x0，存在自然数k(x0)，使得xk(x0)+1=0;(2)令V(x0)为f(x0 ),f(x1 ),⋯,f(xk(x0))中不同的个数，求V(2),V(3),⋯,V(781)中的最大数，并说明理由.

某日温度华氏与摄氏之比若 13:4，问华氏几度?

甲，乙两车分别从 A，B 两地同时出发相向而行，1 小时后，甲车到达 C 点，乙车到达 D点则能确定 AB 两地的距离【】(1)已知 C，D 两地距离(2) 已知甲，乙两车速度比

已知集合A={1,2,3}，映射f:A→A，且满足对任意x∈A，有f(f(x))≥x，且这样的f有________个.

设S={z∈C||z|=1}.求所有函数f:S→S，使得f为连续单射,且对任意z1,z2∈S，有f(z1 z2 )=f(z1)f(z2).

函数y=log2 (2x-1)/(3-x)的定义域为__________.

函数

设函数f(x)=a(x+1)²-1,g(x)=cosx+2ax，当x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=【】

设函数f(x)=(x+a)ln⁡(x+b)，若f(x)≥0，则a²+b²的最小值为【】

一项考试的可能得分为0,1,2,⋯,150，有100名考生P1,P2,⋯,P100，考完后依顺时针围成一圈交流成绩，记Pi的成绩为ai.每个考生Pi比较自己与相邻两人Pi-1,Pi+1（下标按模100理解）的得分，定义Pi的激励值fi为：fi=记S=f1+f2+⋯+f100.(1)求S的最大值；(2)求使得f1,f2,⋯,f100两两不相等的S的最大值.

设n为正整数.若平面中存在两点A,B及2024个不同的点P1,P2,⋯,P2024满足：线段AB及各条线段APi,BPi (i=1,2,⋯,2024)的长度均为不超过n的正整数，求n的最小值.

函数y=-x²+(ex-e-x )sinx在区间[-2.8,2.8]的图像大致为【】

已知a>1，且1/log8⁡a -1/loga⁡4 =-5/2，则a=______.

记水的质量为d=(S-1)/lnn，且d越大，水质量越好.若S不变，且d1=2.1,d2=2.2，则n1与n2的关系为【】

已知(x1,y1 ),(x2,y2)是函数y=2x图像上不同的两点，则下列正确的是【】

已知f(x)=x³+a,x∈R，且f(x)是奇函数，则a=______.

已知函数f(x)的定义域为R，定义集合M={x0│x∈R,x∈(-∞,x0 ),f(x)<f(x0 ) }，在使得M=[-1,1]的所有f(x)中，下列成立的是【】