高中数学-竞赛试题(巴尔干数学竞赛 2025年圆)

证明题（2025年巴尔干数学竞赛）

如图，在锐角△ABC中，H是垂心，D是边BC上任意一点，点E,F分别在边AB,AC上，满足A,B,D,F和A,C,D,E共圆，线段BF与CE交于点P,L是AH上的一点，且LC与△PBC的外接圆相切，BH,CP交于点X，求证：D,X,L三点共线.

答案解析

解答过程见word版

讨论

高中数学

称整数n>1是好数，如果存在1,2,⋯,n的一个排列a1,a2,⋯,an，满足：⑴ 对1≤i≤n-1,ai与ai+1不同奇偶；⑵ 对1≤k≤n,a1+a2+⋯+ak是模n的二次剩余.求证：存在无穷多个好数，也存在无穷多个正整数不是好数.

已知a1,a2,⋯,an为实数，且∑i=1nai =n,∑i=1nai² =2n,∑i=1nai³ =3n.(1)求最大的常数C，使得对所有n≥3，均有max⁡{a1,a2,⋯,an }-min⁡{a1,a2,⋯,an }≥C；(2)证明存在常数C2>0使得max⁡{a1,a2,⋯,an }-min⁡{a1,a2,⋯,an }+C≥C2n-3，其中C为(1)中的常数.

设p为给定素数，f为{0,1,…,p-1}到自身的一个双射.若f满足：当p|a²-b²时，|f(a)-f(b)|≤2024.求证：有无穷多个p使得f存在，也有无穷多个p使得f不存在.

对于R²中任意两点(x1,y1 ),(x2,y2)，定义该两点之间的小数距离为：√(‖x1-x2 ‖²+‖y1-y2 ‖² )其中‖x‖表示实数x离最近整数的距离.求最大的实数r，使得平面上存在四个点，两两之间的小数距离均不小于r.

给定整数a1>a2>⋯>an>1，记M=lcm(a1,a2,⋯,an )，对任意非空有限正整数集X，定义f(X)=min1≤i<n⁡∑x∈X{x/ai } 若对X的任意真子集Y，有f(Y)<f(X)，则称X是极小的.设X是极小的，且f(X)≥2/an .求证：|X|≤f(X)∙M.

在△ABC中，I为内心，L,M,N分别为，AI,AC,CI的中点，D在线段AM上，满足BC=BD，△ABD的内切圆切边AD,BD于E,F,J为△AIC的外心，ω为△JMD的外接圆，MN再次交ω于P,JL再次交ω于Q，证明：PQ,LN,EF三线交于一点.

给定无理数α>1,L∈Z，满足L>α²/(α-1)，数列{xn}满足x1>L，且xn+1=(1)证明：{xn}最终周期；(2)证明：{xn}最终的最小正周期是一个与x1无关的奇数.

记Q是所有理数的集合.一个函数f:Q→Q称为神奇函数，如果对任意x,y∈Q均有下述两个等式：f(x+f(y))=f(x)+y,f(f(x)+y)=x+f(y)至少有一个成立.证明：存在整数c满足对任意一个神奇函数f，至多存在c个两两不同的有理数可以表示为f(r)+f(-r)的形式(r∈Q)，并求满足上述要求的最小整数c.

憨豆特工在一个2024行2023列的方格表上做游戏.方格表中恰有2022个方格各藏有一个坏人.初始时,憨豆不知道坏人的位置,但是他知道除了第一行和最后一行之外,每行恰有一个坏人,且每列至多有一个坏人.憨豆想从第一行移动到最后一行,并进行若干轮尝试,在每一轮尝试中,憨豆可以在第一行中任意选取一个方格出发并不断移动,他每次可以移动到与当前所在方格有公共边的方格内.(他允许移动到之前已经到达过的方格.)若憨豆移动到一个有坏人的方格,则此轮尝试结束,并且他被传送回第一行开始新的一轮尝试,坏人在整个游戏过程中不移动,并且憨豆可以记住每个他经过的方格内是否有坏人.若憨豆到达最后一行的任意一个方格,则游戏结束.求最小的正整数n,使得不论坏人的位置如何分布,憨豆总有策略可以确保他能够经过不超过n轮尝试到达最后一行.

在△ABC中AB<AC<BC.设△ABC的内心为I，内切圆为ω.点X(异于C)在直线BC上，满足过X且平行于AC的直线与圆ω相切.点Y(异于B)在直线BC上，满足过Y且平行于AB的直线与圆ω相切.设直线AI与△ABC的外接圆交于另一点P(异于A).设K与L分别为线段AC和AB的中点.证明：∠KIL+∠YPX=180°.

圆

在锐角三角形△ABC中，AB>AC,O为外心. 设D为BC上一点，O1,O2分别为△ABD,△ACD的外心，△AO1O2的外接圆与⨀O交于不同于A的点L.证明：A,O,D三点共线当且仅当AL//BC.

如图，在△ABC中，AB>AC,△ABC的内切圆I分别切边BC,CA,AB于点D,E,F.设M为DE的中点，N为DF的中点，直线EF与BC相交于点P，过点P作动直线l交内切圆I于不同的两点G,H,且I,M,G和I,N,H均不共线，△IMG的外接圆与△INH的外接圆交于不同于I的点Q,证明：点Q始终在一个定圆上.

如图，AB是⊙O的直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.求证：DC是⊙O的切线.

在△ABC中，AB=1,AC=3,∠BAC=π/2，半径为r>0的圆与边AB,AC相切，且也内切于△ABC的外接圆，则r的值为__________.

设由圆外一点作一切线一割线，证明此切线为割线及其圆外线分的比例中率.

设一圆之半径为 25 尺，其外切四边形之圆界为 400 尺，试求此四边形之面积。

作通过二定点，中心在一定直线上之圆.

已知三角形之三角及其面积，求作其圆.

试证圆内之等弦距圆心均等.又证圆内之两等弦相交割其所割相当之部分各相等.

何谓圆：___________________________.

平面几何

设P为平面凸多边形，若线段AB的两端点在P的边界上，并且过A,B与AB垂直的两条直线之间的区域(含边界)包含P，则称线段AB为“锦弦”. 求最大的正整数k，使得任意平面凸多边形P都有k条锦弦.

在n×n的方格表中，若两个方格有公共边，则称它们是相邻的.若l个互异方格A1,A2,⋯,A_l满足Ai和Ai+1相邻（1≤i≤l-1），则称它们为一条长度为l的“龙”.求最大正整数k，使得可以给每个方格填上0或者1，并且对任意一个方格A，和以A中数字为首项的0,1序列m1,m2,⋯,mk，都存在从A开始的长度为k的龙，方格中的数字依次是m1,m2,⋯,mk.

求最大的正整数n，使得平面上存在n个点P1,P2,⋯,Pn(任意三点不共线)和不过其中任意点的n条直线l1,l2,⋯,ln(任意三线不共点)，满足对任意i≠j，直线Pi Pj,li,lj三线共点.

一个国家共有n座城市，其中整数n≥100.某些城市之间有双向直飞航班.对于两座城市 A,B，我们定义:(ⅰ)从A到B的路径为一列互不重复的城市序列A=C0,C1,⋯,Ck,Ck+1=B(k≥0)，其中对任意0≤i≤k，城市与之间有直飞航班；(ⅱ)从A到B的长路径是指一条路径，使得不存在其他从A到B的路径包含更多城市；(ⅲ)从A到B的短路径是指一条路径，使得不存在其他从A到B的路径包含更少城市.已知对于任意两座城市A和B，均存在一条长路径和一条短路径，且这两条路径除A和B外没有其他共同城市.设F为该国家中通过直飞航班连接的城市对的总数，求F的所有可能值.

已知ABCD，A'B'C'D'都是正方形（如图），而A'、B'、C'、D'分别把AB、BC、CD、DA分为m:n，设AB=1.(1)求A'B'C'D'的面积；(2)求证A'B'C'D'的面积不小于1/2.

于四边形之内，取一点不在两对角线之交点之上者，试证明从此点至各顶点之距离之和大于两对角线之和.

作直线垂直于一已知线，与已知圆相切.

PQRS为平面四边形，QR=1，∠PQR= ∠QRS= 70°，∠PQS=15°，∠PRS= 40°.若∠RPS=θ.PQ=α,PS=β，则4αβsinθ属于下列哪个区间【】

设G为半径为R的圆，G1,G2,⋯,Gn为半径为r的圆，已知G1,G2,⋯,Gn均外切于G，对于i=1,2,⋯,n-1，Gi与Gi+1外切，且Gn与G1外切，则下列叙述正确的有【】

试作一正方形，与一已知长方形之面积相等.