高中数学-高考试题(南京大学 1949年行列式)

证明题（1949年南京大学）

试证恒等式

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答案解析

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高中数学

设三角形的三角为α,β,γ，证sin⁡α/2·sinβ/2·sinγ/2<1/4.

南京大学解方程

已知PA,PB,PC为过圆周上点P三弦，PT为圆之切线，设有一直线与PT平行，交PA,PB,PC于A',B',C'三点.求证：PA∙PA'=PB∙PB'=PC∙PC'.

已知角 A 及角内一点 P，求作过 P 点的直线，使其在 A 角内之部分被 P 点平分.

清华大学解方程

有连续三整数，其平方和为 50，求此三数.

求适合sin2x+cos2x=√2 sinx及0≤x≤2π的角的值.

求证：sin⁡(2nx)/(2nsinx)=cosx∙cos2x∙⋯∙cos⁡(2n-1x )

求证：3+4cosθ+cos2θ≥0

经过抛物线焦点的弦与抛物线的轴成角θ，试证此弦在抛物线内之截线等于L/sin²⁡θ ，其中L为正焦弦之长（经过焦点而又垂直于轴之弦，称为正焦弦）.

行列式

Evaluate the determinant.

设β为实数，矩阵A=.若A7-(β-1) A6-βA5为奇异矩阵，则9β的值为______.

设M=，则M2022等于【】

试证=(sin⁡(c-a)sin⁡(a-b))/sin⁡(b+c) · [-2 sin⁡(b+c) sin⁡(b-c) ]=-2sin⁡(b-c)sin⁡(c-a)sin⁡(a-b)

北京大学行列式

若A+B+C=180°，求证=0

浙江大学行列式

若α=cos20°,b=cos40°,c=cos80°，试求行列式之数值.

已知齐次方程组式中A,B,C为三参数.(1)求此方程组x=y=z=0之一组解答外，有其他解答时A,B,C间之关系.(2)求证A+B+C=π时，x,y,z恰为一三角形之三边.

厦门大学行列式

线性代数

If w is one of the imaginary cute roots of unity, show that the square of =hence show that the value of the determinant on the left is 3.

x4+4之有理因子为____________.

设a:b = x:y，试证 (a³ + 2b³) : ab² = (z³ +2y³) : xy².

某校招考学生，投考的有 540 人，考取 15%，是多少人?

某学生带银去买书籍等物; 要用所有银的1/4买字典，1/5买地理，1/6买文具，这样算，付价之后，还可以剩银23/10元; 问他带去银是多少?

变换方程式x4+16x3+89x2+200x+156=0，使其缺第二项,因而求原方程式之根.

若多项式 f(x) 之系数皆为整数，且 f(0) 及 f(1) 又均为奇数，试证 f(x) = 0绝无整数根.

分解因式 x4-23x2+1

分解因式 y2 z2 (x4-1)+x2 (y4-x4)