高中数学-高考试题(北京大学 1947年三角函数方程)

计算题（1947年北京大学；1947年清华大学；1947年南开大学）

解下列三角方程式

sin4x-2sinxcos2x=0

答案解析

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讨论

高中数学

设二圆之连心线交一圆于 A,B 两点，交第二圆于 D,C 二点，又交二圆之一外公切线于 P 点，设在连心线上，点 A 距 P 最近，点 D 距 P 最远，试证：PA· PD = PB·PC.

设 D 为 △ABC 之底边 BC 之中点，若顶角 A 为角直角或锐角，则底边BC 分别大于，等于或小于中线 AD 之二倍.试证之.

若a,b,c为方程式x³+px²+qx+r=0之根，试求以a-1/bc,b-1/ca,c-1/ab为根之方程式.

试证双曲线之两渐近线及任一切线所成之三角形之面积等于一常数.

试论下列函数并绘其图形ρ = 2(1 - cosθ)

已知底边顶角及底边上之高,求作一三角形.

试证下列恒等式cosA+cosB+cosC+cos⁡(A+B+C)=4 cos⁡(B+C)/2cos⁡(C+A)/2cos(A+B)/2

试将下式分为分项分数(2x3-x2+1)/(x-2)4

若x1,x2为方程式2x2-5x+3=0之二根，试求以x1/x2 与x2/x1 为根之方程式.

分解因式 y2 z2 (x4-1)+x2 (y4-x4)

三角函数

记函数f(x)=sin⁡(ωx+π/4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2/3 π<T<π，且y=f(x)的函数图像关于点(3π/2,2)中心对称，则f(π/2)=【】

函数f(x)=sin⁡(2x+φ)(0<φ<π)的图像以(2π/3,0)中心对称，则【】

设函数f(x)=sin⁡(ωx+π/3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是【】

将函数f(x)=sin⁡(ωx+π/3) (ω>0)的图像向左平移π/2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是【】

记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin⁡Csin⁡( A-B)=sin⁡Bsin⁡(C-A)．（1）证明：2a2=b2+c2；（2）若a=5,cos⁡A=25/31，求△ABC的周长．

为了得到函数y=2sin⁡3x的图像，只要把函数y=2sin⁡(3x+π/5)图像上所有的点【】

函数y=arccos⁡(cosx)(x∈[-π/2,π/2])的图像是【】

求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

已知sinθ=-3/5,3π<θ<7π/2，求tanθ/2的值.

已知tanx=a，求(3sinx+sin3x)/(3cosx+cos3x)的值.

三角函数方程

满足sin⁡(x - π/4)≥1/2的x的集合是【】

方程sin4xcos5x=-cos4xsin5x的一个解是【】

若sin2x>cos2x，则x的取值范围是【】

函数y=cos2⁡x - 3cos⁡x + 2的最小值为【】

一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角为【】

解方程：sinx+cosx-1=0

函数f(x)=cos⁡x+(x+1)sin⁡x+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为【】

考虑下面2列，选择正确的选项【】列Ⅰ 列Ⅱ(Ⅰ) {x∈[-2π/3,2π/3]:cosx+sinx=1} (P)有2个元素(Ⅱ) {x∈[-5π/18,5π/18]:√3 tan3x=1} (Q)有3个元素(Ⅲ) {x∈[-6π/5,6π/5]:2cos2x=√3} (R)有4个元素(Ⅳ) {x∈[-7π/4,7π/4]:sinx-cosx=1} (S)有5个元素 (T)有6个元素

已知cosx=(1-(M+1)sin2x)/(1+(M-1)sin2x)，求x的值.

英：Solute the equation汉：解方程sin4θ+sinθ=0