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单项选择（2020年全国Ⅲ(文)）

已知 sinθ + sin(θ + π/3) = 1, 则 sin(θ + π/6) =【 】

A、1/2

B、/3

C、2/3

D、/2

答案解析

B

讨论

高中数学

Logistic 模型是常用数学模型之一, 可应用于流行病学领域. 有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎 累计确诊病例数 I(t) (t 的单位: 天) 的 Logistic 模型: I(t) = , 其中 K 为最大确诊病例数. 当 I(t∗) = 0.95K 时, 标志已初步遏制疫情, 则 t∗ 约为 (ln19 ≈ 3)【 】

设一组样本数据 x1, x2, · · · , xn 的方差为 0.01, 则数据 10x1, 10x2, · · · , 10xn 的方差为【 】

若(1 + i) = 1 − i, 则 z =【 】

已知集合 A = {1, 2, 3, 5, 7, 11}, B = {x | 3 < x < 15}, 则 A ∩ B 中元素的个数为【 】

已知函数 f(x) = 2ln x + 1.(1) 若 f(x) ⩽ 2x + c, 求 c 的取值范围;(2) 设 a > 0, 讨论函数 g(x) = (f(x)-f(a))/(x-a) 的单调性.

如图, 已知三棱柱 ABC − A1B1C1 的底面是正三角形, 侧面 BB1C1C 是矩形, M, N 分别为 BC, B1C1 的中点, P 为 AM 上一点, 过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E, 交 AC 于 F .(1) 证明: AA1 // MN, 且平面 A1AMN ⊥ 面 EB1C1F ;(2) 设 O 为 △A1B1C1 的中心, 若 AO = AB = 6, AO//平面 EB1C1F , 且 ∠MPN = π/3 , 求四棱锥 B −EB1C1F 的体积.

已知椭圆 C1 : x2/a2 + y2/b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合. C1 的中心与 C2 的顶点重合,过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A, B 两点, 交 C2 于 C, D 两点. 且 |CD| = 4/3|AB|.(1) 求 C1 的离心率;(2) 若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12, 求 C1 与 C2 的标准方程.

△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 cos2(π/2 + A) + cos A = 5/4.(1) 求 A.(2) b − c =/3a, 证明: △ABC 是直角三角形.

若 x, y 满足约束条件 , 则 z = x + 2y 的最大值是__________.

记 Sn 为等差数列 {an} 的前 n 项和, 若 a1 = −2, a2 + a6 = 2, 则 S10 = ______.

三角函数

试证下列恒等式cosA+cosB+cosC+cos⁡(A+B+C)=4 cos⁡(B+C)/2cos⁡(C+A)/2cos(A+B)/2

设θ=2 tan-1⁡t，求以t表asin⁡(θ+b).

设x,y,z为任意三个角，求证：sinx+siny+sinz-sin⁡(x+y+z)=4 sin⁡(x+y)/2 sin⁡(y+z)/2 sin⁡(z+x)/2

设x,y,z为任意三个角，求证：sinxsin(y-z)cos⁡(y+z-x)+sinysin(z-x)cos⁡(z+x-y)+sinzsin(x-y)cos⁡(x+y-z)=0

设A+B+C=90°，则tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA=1，试证之.

Prove that：(sin75°+sin15°)/(sin75°-sin15°)=tan60°

若A+B+C =nπ (n 为整数).求证：sin2A + sin2B + sin2C = (-1)n-1 · 4sinA · sinB · sinC

求证：3+4cosθ+cos2θ≥0

设三角形的三角为α,β,γ，证sin⁡α/2·sinβ/2·sinγ/2<1/4.

用公式 cos⁡(θ/2)=±时，式中的正负号怎样决定?

三角函数的诱导公式

记△ABC的内角A,B,C对应的边分别为a,b,c，已知sinC=√2 cosB,a²+b²-c²=√2 ab.(1) 求B；(2) 若△ABC的面积为3+√3，求c.

若 sinx = −2/3, 则 cos2x = _______.

在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，设a+c=2b,A-C=π/3，求sin⁡B的值.以下公式供解题是参考：sinθ+sinφ=2sin (θ+φ)/2 cos (θ-φ)/2，sinθ-sinφ=2cos (θ+φ)/2 sin (θ-φ)/2,cosθ+cosφ=2cos (θ+φ)/2 cos (θ-φ)/2,cosθ-cosφ=-2sin (θ+φ)/2 sin (θ-φ)/2.

若0<α<β<π/4,sin⁡α+cos⁡α=a,sin⁡β+cos⁡β=b，则【 】

若α∈(0,π/2),tan2α=cosα/(2-sinα)，则tanα=【 】

cos2 π/12 - cos2 5π/12=【 】

求证：(sinα+sinβ)/sin⁡(α+β)=cos((α-β)/2)/cos((α+β)/2)

计算：sin 4π/3∙cos 25π/6∙tg(-3π/4).

已知x+x-1=2cosθ，求证：xn+x-n=2cosnθ.

不查表求sin105°的值.