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高考1962年全国统考( )

求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内.

第一种情形(如图):四条直线l1,l2,l3,l4没有三条直线过同一点,这时它们共有六个交点A、B、C、D、E、F,它们各不相同,

因直线l1,l2相交于点A,可决定一平面α;

因点B、C、D、E均在平面α内,

所以直线l3,l4也在平面α内,

故直线l1,l2,l3,l4同在平面α内.

第二种情形(如图):四条直线l1,l2,l3,l4中有三条,例如l1,l2,l3,过同一点A,

因直线l4不过点A,故由点A及直线l4可决定一平面α,因直线l4与直线l1,l2,l3,相交,设交点为B、C、D,则点B、C、D在直线l4上,从而在平面α内,

因此,直线l1,l2,l3,各有两点在平面α内,即这三条直线在平面α内,

故四直线l1,l2,l3,l4在同一平内.

高考1962年全国统考( )

由正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作该正方体的对角线A1C的垂线,垂足为E,证明A1E:EC=1:2.

设正方体的棱长为1,连接AC,则AC=√2,

∵AE为直角△A1AC的斜边A1C上的高,

∴A1E∙A1C=AA12,EC∙A1C=AC2,

两式相除,得(A1E)/EC=(AA12)/(AC2 )=1/(√2)2 =1/2,

∴A1E:EC=1:2.

高考1962年全国统考( )

已知ABCD,A'B'C'D'都是正方形(如图),而A'、B'、C'、D'分别把AB、BC、CD、DA分为m:n,设AB=1.

(1)求A'B'C'D'的面积;

(2)求证A'B'C'D'的面积不小于1/2.

(1)设AA'=mt,A' B=nt,

由mt+nt=1,有t=1/(m+1).

在直角△D'AA'中,D' A'2=D' A2+AA'2=m2 t2+n2 t2=(m2+n2 ) t2,

而正方形A'B'C'D'的面积=D' A'2=(m2+n2 ) t2=(m2+n2)/(m+n)2 .

(2)∵(m2+n2)/(m+n)2 -1/2=(2(m2+n2 )-(m+n)2)/2(m+n)2 =((m-n)2)/(2(m+n)2 )≥0,

∴(m2+n2)/(m+n)2 ≥1/2.

高考1962年全国统考( )

已知D为△ABC内的一点,AB=AC=1,∠BAC=63°,∠BAD=33°,∠ABD=27°,求DC(精确到小数点后两位,sin27°=0.4540).

由题意有∠ADB=180°-(33°+27°)=120°,

根据正弦定理,得AD=AB∙sin27°/sin120°=2∙sin27°/√3,

又∠CAD=63°-33°=30°,

由余弦定理可得

DC2=AD2+AC2-AD∙AC∙cos30° 

=(4 sin227°)/3+1-2∙(2sin27°)/√3∙√3/2 

=4(0.4540)2/3+1-2×0.4540=0.3668 

∴DC=≈0.61.

高考1962年全国统考( )

解方程组

并讨论a取哪些实数时,方程组

(1)有不同的两实数解;

(2)有相同的两实数解;

(3)没有实数解.

由y=x+a得x=y-a,代入上一方程并化简得y2-6y(4a+1)=0,

解得y=3±2,x=y-a=3±2-a.

即方程组的解为

,

(1)当2-a>0,即a<2时,方程组有不同的两实数解;

(2)当2-a=0,即a=2时,方程组有相同的两实数解;

(3)当2-a<0,即a>2时,方程组没有实数解.