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竞赛2006年全国高中数学联赛( )

设f(x)=x2+a,记f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),n=2,3,⋯,M={a∈R│对所有正整数n,|fn(0)|≤2}.证明:M=[-2,1/4].

记an=fn (0)⟹a1=f(0)=a,an=f(an-1 )=an-12+a.

当a<-2时,易知|a1 |=|a|>2,不满足题意;

当a∈[-2,0]时,用数学归纳法证明:|an |≤|a|.

n=1时显然成立.假设n=k时,结论成立,即|ak |≤|a|.

n=k+1时,ak+1=ak2+a≤a2+a≤-2a+a=-a⟹|ak+1 |≤|a|.

即n=k+1时结论也成立.由归纳法原理,有|an |≤|a|;

当a∈(0,1/4]时,用数学归纳法证明:|an |≤1/2.

n=1时显然成立.假设n=k时,结论成立,即|ak |≤1/2.

n=k+1时,ak+1=ak2+a≤(1/2)2+1/4=1/2.

即n=k+1时结论也成立.由归纳法原理,有|an |≤1/2.

当a>1/4时,由于an+1-an=an2-an+a=(an-1/2)2+a-1/4≥a-1/4

⟹an=(an-an-1 )+(an-1-an-2 )+⋯+(a_2-a1 )+a1≥(n-1)(a-1/4)+a

于是当(n-1)(a-1/4)+a>2⟹n>(2-a)/(a-1/4)+1时,就有an>2,不满足题意.

综上所述,有a∈[-2,1/4].所以M=[-2,1/4].

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将2006表示成5个正整数x1,x2,x3,x4,x5之和.记S=∑1≤i<j≤5xi xj .问:

(1)当x1,x2,x3,x4,x5取何值时S取到最大值?

(2)进一步地,对任意1≤i<j≤5有|xi-xj |≤2,当x1,x2,x3,x4,x5取何值时,S取到最小值?说明理由.

(1)不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5,且x1+x2+x3+x4+x5=2006.

若x2-x1>2,则令x1'=x1+1,x2'=x2-1.

此时S'-S=[x1' x2'+(x1'+x2' )(x3+x4+x5 )]-[x1 x2+(x1+x2)(x3+x4+x5)]

=x1' x2'-x1 x2=(x1+1)(x2-1)-x1 x2=x2-x1-1>0.

称为述过程为一次调整.每次调整后,将使得S值增大.于是经过有限次调整后可使得对任意1≤i<j≤5都有|xi-xj |≤2,同时S达到最大.

由于2006=5×401+1,则当x1=x2=x3=x4=401,x5=502时,

Smax=6×4012+4×401×402=1609614.

(2)依题意,x1+x2+x3+x4+x5有三种情形:

①400+400+402+402+402;

②400+401+401+402+402;

③401+401+401+401+402.

简单计算得S1=3×4022+6×400×402+4002=1609612;

S2=400×1606+4012+4×401×402+4022=1609613.

所以,当x1=x2=400,x3=x4=x5=402时,Smin=1609612.

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给定整数n≥2,设M0 (x0,y0)是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点.试证明对任意正整数m,必存在整数k≥2,使(x0m,y0m)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点.

联立⟹x02-nx0+1=0⟹x0+1/x0 =n.

则 x02+1/(x02 )=(x0+1/x0 )2=n2-2;

x03+1/(x03 )=(x0+1/x0 )(x02+1/(x02 )-1)=n3-3n;

当m≥3时,x0m+1/x0m =(x0+1/x0 )(x0m-1+1/x0m-1 )-(x0m-2+1/x0m-2 ).

于是由数学归纳法知,存在正整数k=x0m+1/x0m ≥2满足(x0m )2-kx0m+1=0,

即(x0m,y0m)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点.

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袋内有8个白球和2个红球,每次从中随机取出一个球,然后放回一个白球,则第4次恰好取完所有红球的概率为________.

0.0434

设A、B、C分别表示第一次、第二次、第三次取到红球的事件,则

P(A)=2/10×9/10×9/10×1/10;P(B)=8/10×2/10×9/××1/10;P(C)=8/10×8/10×2/10×1/10

于是第四次恰好取完所有红球的概率为:

P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=217/5000=0.0434

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方程(x2006+1)(1+x2+x4+⋯+x2004 )=2006x2005的实数解的个数为__________.

1

方程两边同除以x2005

(x+1/x2005 )(1+x2+x4+⋯+x2004 )=2006

⟺x+x3+x5+⋯+x2005+1/x2005 +1/x2003 +1/x2001 +⋯+1/x=2006

⟺2006=(x+1/x)+(x3+1/x3 )+⋯+(x2005+1/x2005 )≥2∙2003=2006

要使等号成立,必须x=1/x,x3=1/x3 ,⋯,x2005=1/x2005 ,即x=±1.

但x≤0不满足原方程,所以x=1是原方程的唯一解.