问答题(1931年上海交通大学

If w is one of the imaginary cute roots of unity, show that the square of 

=

hence show that the value of the determinant on the left is 3.

答案解析

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讨论

有人定酒二坛,两坛所盛斤数不等,原定一盛甲酒每斤8角,一盛乙酒每斤5角.今误将甲坛盛乙酒,乙坛盛甲酒,酒商要求加洋一元五角.问两坛斤数各几何?

若a:b=c:d,试证(a2+b2):a3/(a+b)=(c2+d2):c3/(c+d).

析a2b+ab2-a2c+ac2-2abc-b2c+bc2之因式.

若 x³ + 3px² + 3qx +r 及 x² + 2px +q 有一个一次公因子,试问 p,g,r 之间应有何种关系?又若有两个一次公因子,则其关系又若何?

化(5x²-4x+16)/((x²-x+1)²(x-3))为部分分式.

求下式之部分分式(2x+3)/((x-2)(x²+3)).

分解(x2-2x+5)/(x4-4x3+5x2-4x+4)为最简部分分式.

设 A,B 为 x 的两个有理整式,请用辗转相除法说明并证明何种情况为互质,何种情况下有公因式.有公因式时,说明求最高公因式之方法并证明之.

A polynomial P with integer coefficients is square-free if it is not expressible in the form P=Q² R, where Q and R are polynomials with integer coefficients and Q is not constant. For a positive integer n, let Pn be the set of polynomials of the form1+a1 x+a2 x²+⋯+an xnwith a1,a2,⋯,an∈{0,1}. Prove that there exists an integer N so that, for all integers n>N, more than 99% of the polynomials in Pn are square-free.【译】我们称整系数多项式P是无平方因子的,如果其不能表示为P=Q² R的形式,这里Q,R为整系数多项式且Q不为常数.对于正整数n,记Pn为如下 形式的多项式组成的集合:1+a1 x+a2 x²+⋯+an xn这里a1,a2,⋯,an∈{0,1}.证明:存在整数N,使得对任意的整数n≥N,Pn中超过99%的多项式都是无平方因子的.

有理数加群(Q,+),记所有分母不超过10的有理数构成的子集为G,其对应的陪集GZ记为G ̅,则Q/Z包含G ̅的最小子群的阶为______.