高中数学-高考试题(北京大学 1917年解方程)

问答题（1917年北京大学）

有酒两种，甲种4升与乙种5升价值之比若 6:7，今甲种4升瓶 26 瓶之价为13元，问乙种 3升瓶 28 瓶该价若干?

答案解析

设甲种酒每升x元，乙种酒每升y元，则

4x:5y=6:7，解得y=14/15 x.

由甲种4升瓶 26 瓶之价为13元，得1 瓶之价为0.5元，即每升0.125元，即x=0.125.

∴3×28y=3×28×14/15 x=9.8.

答：乙种 3升瓶 28 瓶之价为9.8元.

讨论

映射与函数

求函数y=的定义域，并在数轴上表示出来.

求函数y=arcsin x/3的定义域，并在数轴上表示出来.

Let R+ denote the set of positive real numbers. Find all functions f:R⟶R such that for each x∈R+, there is exactly one y∈R+ satisfying：xf(y)+yf(x)≤2.译文：设R+表示所有正实数构成的集合.求所有函数f:R+→R+，使得对任意x∈R+，恰好有一个y∈R+满足条件：xf(y)+yf(x)≤2.

设函数f(x)=，若f(x0)>1，则x0的取值范围是【】

定义函数f(x)代表|x|-2与x2-ax+3a-5中较小的数.若f(x)至少有3个零点，则a的取值范围为__________.

若xi为大于1的整数，记f(xi)为xi的最大素因数.令xi+1=xi-f(xi)（i为自然数）.(1)证明：对任意大于1的整数x0，存在自然数k(x0)，使得xk(x0)+1=0;(2)令V(x0)为f(x0 ),f(x1 ),⋯,f(xk(x0))中不同的个数，求V(2),V(3),⋯,V(781)中的最大数，并说明理由.

函数f,g:R⟶R定义为f(x)=x²+5/12,g(x)=,区域{(x,y)∈R×R||x|≤3/4,0≤y≤min⁡[f(x),g(x)]}的面积为α，则9α的值为________.

函数 f(x) = 1/(x+1)+lnx 的定义域是__________.

已知 f(x) = x3, 则 f−1(x) =______.

设 a ∈ R, 若存在定义域为 R 的函数 f(x) 满足: ① 对任意 x0 ∈ R, f(x0) 的值为 x02 或 x0; ② 关于 x 的方程 f(x) = a 无实数解. 则 a 的取值范围是_______________.

解方程

已知函数 f(x) =.若函数 g(x) = f(x) − |kx2 − 2x| (k ∈ R) 恰有 4 个零点, 则 k 的取值范围是【】.

若x0是方程(1/2 )x=x1/3的解，则x0属于区间【】

解方程log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1).

解方程9-x - 2∙31-x = 27.

设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间(2k-1,2k+1]，已知当x∈I0时，f(x)=x2.(Ⅰ)求f(x)在Ik上的解析表达式；(Ⅱ)对自然数k,求集合Mk={a|使方程f(x)=ax在Ik 上有两个不相等的实根}.

方程=1/4的解是【】

曲线2y2 + 3x + 3 = 0与曲线x2 + y2 - 4x - 5 = 0 的公共点的个数是【】

方程(1+3-x)/(1+3x)=3的解是______.

已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根a,β.证明:(I)如果|α|<2,|β|<2,那么2|a|<4+b且|b|<4;(Ⅱ)如果2|a|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,β|<2.

某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?

函数

×(-6/11)+0.25-(-2)3÷(-)2.

设f(x)是定义R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈[0,1/2]，都有f(x1+x2 )=f(x1)f(x2)，且f(1)=a>0.(Ⅰ)求f(1/2)及f(1/4)；(Ⅱ)证明f(x)是周期函数；(Ⅲ)记an=f(2n+1/2n)，求(lnan).

已知函数f(x)=x3(a∙2x - 2-x)是偶函数，则a=__________.

已知函数f(x)=x(1-lnx).(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a,b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<1/a+1/b<e.

设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b，若f(0)+f(3)=6，则f(9/2)=【】

已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|.(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图像.(2)若f(x+a)≥g(x)，求a的取值范围.

下列函数中是增函数的为【】

记f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1+x)=f(-x)，若f(-1/3)=1/3，则f(5/3)=【】

设函数f(x)=(1-x)/(1+x)，则下列函数中为奇函数的是【】

已知f(x)=3/x+2，则f-1 (1)=__________.