高中数学-高考试题(北京大学 1917年解方程)

问答题（1917年北京大学）

有酒两种，甲种4升与乙种5升价值之比若 6:7，今甲种4升瓶 26 瓶之价为13元，问乙种 3升瓶 28 瓶该价若干?

答案解析

设甲种酒每升x元，乙种酒每升y元，则

4x:5y=6:7，解得y=14/15 x.

由甲种4升瓶 26 瓶之价为13元，得1 瓶之价为0.5元，即每升0.125元，即x=0.125.

∴3×28y=3×28×14/15 x=9.8.

答：乙种 3升瓶 28 瓶之价为9.8元.

讨论

映射与函数

已知函数f(x)的定义域为[0,+∞)，且满足f(x)=f(1/(1+x))，记函数的值域为Af，若a>0，满足{y│y=f(x),x∈[0,a] }=Af，则实数a的取值范围为__________.

Let R+ denote the set of positive real numbers. Find all functions f:R⟶R such that for each x∈R+, there is exactly one y∈R+ satisfying：xf(y)+yf(x)≤2.译文：设R+表示所有正实数构成的集合.求所有函数f:R+→R+，使得对任意x∈R+，恰好有一个y∈R+满足条件：xf(y)+yf(x)≤2.

设N*表示正整数集，求所有的函数f:N* → N*，使得对任意正整数x,y，均有f(f(x)+y)整除x+f(y).

函数y=/(x+2)的定义域是____________.

设函数f(x)=x2 + x + 1/2的定义域是[n,n+1]( n是自然数)，那么f(x)的值域中共有______个整数.

某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养殖提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克.根据市场调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系:P=1000(x+t-8)(x≥9,t≥0),Q=500(8≤x≤14).当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格.(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元?

已知映射f:A→B，其中，集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元函数是|a|则集合B中元素的个数是【】

已知函数y=f(x)的图像是自原点出发的一条折线.当n≤y≤n+1(n=0,1,2⋯)时，该图像是斜率为bn的线段（其中正常数b≠1），设数列{xn }由f(xn)=n(n=1,2⋯)定义.（Ⅰ）求x1,x2和xn的表达式；（Ⅱ）求f(x)的表达式，并写出其定义域；（Ⅲ）证明：y=f(x)的图像与y=x的图像没有横坐标大于1的交点.

设集合A和B都是自然数集合N，映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，则在映射f下，象20的原象是【】

《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分 5%超过500元至2000元的部分 10%超过2000元至5000元的部分 15%… …某人1月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于【】

解方程

油价上涨5%后，加一箱油比原来多花 20 元，一个月后油价下降了 4%，则加一箱油需要花【】元

北京大学解方程

若a,b,c为方程式x³+px²+qx+r=0之根，试求以a-1/bc,b-1/ca,c-1/ab为根之方程式.

北京大学解方程

设一三角形三边之长为方程式 x³ +px² + qx +r = 0 三根，式中 p,g,r 均为已知数，求此三角形之面积.

若方程式ax³+3bx²+3cx+d=0有二相等之根，则其系数间之关系为(bc-ad)²=4(ac-b²)(bd-c²)试证之.

武汉大学解方程

解方程x5-1=0.

齐鲁大学解方程

设α,β为x²+mx+m²+a=0的二根，则α²+αβ+β²+a=0.

函数

已知函数f(x)=ex/x-ln⁡x+x-a．（1）若f(x)≥0，求a的取值范围；（2）证明：若f(x)有两个零点x1,x2，则x1x2<1．

如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像，则该函数是【】

己知函数f(x)=1/(1+2x)，则对任意实数x，有【】

在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg⁡P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是【】

若函数f(x)=为奇函数，求参数a的值为________.

已知f(x)=log3(x+a)+log3(6-x).若将函数y=f(x)的图像向下平移m(m>0)个单位，经过点(3,0),(5,0)，求a与m的值；若a>-3且a≠0，解关于x的不等式f(x)≤f(6-x).

已知c>0.设P：函数y=cx在R上单调递减.Q：不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.

函数f(x)=|x2-1|/x的图像为【】

已知函数 f(x) = ex + ax2 − x.(1) 当 a = 1 时, 讨论 f(x) 的单调性;(2) 当 x ⩾ 0 时, f(x) ⩾ x3 + 1, 求 a 的取值范围.

设函数 f(x) = ln|2x + 1| − ln|2x − 1|, 则 f(x)【】