高中数学-高考试题(上海市 2021年平面向量)

填空题（2021年上海市）

如图，正方形ABCD的边长为3，则∙=__________.

答案解析

9

讨论

高中数学

已知圆x2+y2-2x-4y=0，则该圆的圆心坐标为__________.

已知A={x│2x≤1},B={-1,0,1}，则A∩B=__________.

z1=1+i,z2=2+3i，则z1+z2=__________.

定义Rp数列{an}：对p∈R满足：①a1+p≥0,a2+p=0；②∀n∈N*,a4n-1<a4n；③∀m,n∈N*,am+n∈{am+an+p,am+an+p+1}.(1)对前4项2,-2,0,1的数列，可以是R2数列吗？说明理由；(2)若{an}是R0数列，求a5的值；(3)是否存在p∈R,使得存在Rp数列{an}，对∀n∈N*满足Sn≥S10?若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由.

已知椭圆E:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)过点A(0,-2)，以四个顶点围成的四边形面积为4.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B,C，直线AB,AC交y=-3于点M,N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围.

已知函数f(x)=(3-2x)/(x2+a).(1)若a=0，求y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)在x=-1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值.

为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即k个人的拭子合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测，现有100人，已知其中2人感觉病毒.(1)①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为1/11，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；(2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y的数学期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小（直接写出结果）.

已知正方体ABCD-A1 B1 C1 D1,点E为A1 D1的中点，直线B1 C1交平面CDE于点F. (1)求证：点F为B1 C1的中点；(2)若点M为棱A1 B1上一点，且二面角M-CF-E的余弦值为/3，求A1 M/A1B1 .

已知在△ABC中，c=2bcosB,C=2π/3.(1)求B的大小；(2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线长度.①c=b;②周长为4+2;③面积为S△ABC=3/4.

已知f(x)=|lgx|-kx-2，给出下列四个结论：(1)若k=0，则f(x)有两个零点； (2) ∃k<0，使得f(x)有一个零点；(3) ∃k<0，使得f(x)有三个零点； (4) ∃k>0，使得f(x)有一个零点.以上正确结论的序号是________.

平面向量

如图, 在四边形 ABCD 中, ∠B = 60º, AB = 3, BC = 6, 且 =λ, ·= -3/2, 则实数 λ 的值为_____, 若 M, N 是线段 BC 上的动点, 且 || = 1, 则· 的最小值为______.

设 k ∈ N∗, 已知平面向量 a1, a2, b1, b2, · · · , bk 两两不同, |a1 − a2| = 1. 对于任意 i = 1, 2, j = 1, 2, 3,· · · , k, |ai − bj| ∈ {1, 2}, 则 k 的最大值是_______________.

已知单位向量 e1, e2 满足|e1-e2 |≤, 设 a = e1 + e2, b = 3e1 + e2, 向量 a, b 的夹角为 θ, 则 cos2θ的最小值为_______.

在 △ABC 中, AB = 4, AC = 3, ∠BAC = 90º, D 在边 BC 上, 延长 AD 到 P , 使得 AP = 9. 若=m+(3/2-m) (m 为常数), 则 CD 的长度是__________.

如图所示，直线x=2 与双曲线 Γ: x2/4 - y2=1的渐进线交于E1, E2两点，记=e1,=e2.任取双曲线Γ上的点P，若 = ae1+be2 （a,b∈R)，则a,b满足的一个等式是_______.

设a,b,c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①(a∙b)c-(c∙a)b=0②|a|-|b|<|a-b|③(b∙c)a-(c∙a)b不与c垂直④(3a+2b)∙(3a-2b)=9|a|2 - 4|b|2 中，是真命题的有【】

已知向量=(-1,2),=(3,m)，若⊥，则m=________.

若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，则c=【】

设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点，则∙=【】

已知O为坐标原点，点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P3(cos⁡(α+β),sin⁡(α+β) ),A(1,0)，则【】

平面解析几何

试证三角形∠A之内角平分线之长为2bc∙cos⁡(A/2)/(b+c).

已知一圆经过二圆 x²+y² -2x +3y -7=0及x²+y²+3y -4=0 的交点及点(-2,1)，求其方程.

堤上有塔高 50 尺，自堤下地面某点测得塔顶之仰角为 75°，塔底之仰角为 45°，求堤高.

△ABC 之底边 BC 的位置及长均为已知，自 B 至 AC 边之中线长亦为已知，求 A 点之轨迹.

用解析法证明凡半圆内的圆周角均为直角.

求与 x =0,y = 0,3x +4y - 6 = 0 三线相切之圆的方程

一圆与二坐标轴及直线 x=a相切，求其方程.

已知在△ABC中，A+B=3C,2 sin⁡(A-C)=sinB.(1)求sinA；(2)设AB=5，求AB边上的高.

过点(0,-2)与圆x²+y²-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=【】

已知在△ABC中，A+B=3C,2 sin⁡(A-C)=sinB.(1)求sinA；(2)设AB=5，求AB边上的高.