高中数学-高考试题(天津市 2020年三角函数及性质)

单项选择（2020年天津市）

已知函数 f(x)=sin⁡(x+π/3). 给出下列结论:

① f(x) 的最小正周期为 2π;

② f(π/2) 是 f(x) 的最大值;

③ 把函数 y = sin x 的图像上所有点向左平移 π/3个单位长度, 可得到函数 y = f(x) 的图像.

其中所有正确结论的序号是【】.

A、①

B、①③

C、②③

D、①②③

答案解析

B

讨论

高中数学

设双曲线 C 的方程为 x2/a2 -y2/b2 =1 (a > 0, b > 0), 过抛物线 y2 = 4x 的焦点和点 (0, b) 的直线为 l. 若 C 的一条渐近线与 l 平行, 另一条渐近线与 l 垂直, 则双曲线 C 的方程为【】.

设 a = 30.7, b =(1/3)-0.8, c =log0.7⁡0.8, 则 a, b, c 的大小关系为【】

若棱长为 2 的正方体的顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为【】

从一批零件中抽取 80 个, 测量其直径 (单位: mm), 将所得数据分为 9 组: [5.31, 5.33], [5.33, 5.35], · · · ,[5.45, 5.47], [5.47, 5.49], 并整理得到如下频率分布直方图, 则在被抽取的零件中, 直径落在区间 [5.43, 5.47] 内的个数为【】

函数 y=4x/(x2+1)的图象大致为【】

设 a ∈ R, 则“a > 1”是“a2 > a”的【】

设全集 U = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}, 集合 A = {−1, 0, 1, 2}, B = {−3, 0, 2, 3}, 则 A ∩ (CUB) =【】

已知 {an} 是无穷数列. 给出两个性质:① 对于 {an} 中任意两项 ai, aj (i > j), 在 {an} 中都存在一项 am, 使得 =am;② 对于 {an} 中任意一项 an (n ⩾ 3), 在 {an} 中都存在两项 ak, al (k > l), 使得 an = .(I) 若 an = n (n = 1, 2, …), 判断数列 {an} 是否满足性质 ①, 说明理由;(II) 若 an = 2n−1 (n = 1, 2, · · · ), 判断数列 {an} 是否同时满足性质 ① 和性质 ②, 说明理由;(III) 若 {an} 是递增数列, 且同时满足性质 ① 和性质 ②, 证明: {an} 为等比数列.

已知椭圆 C : x2/a2 +y2/b2 =1过点 A(−2, −1), 且 a = 2b.(I) 求椭圆 C 的方程;(II) 过点 B(−4, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 M, N, 直线 MA, NA 分别交直线 x = −4 于点 P, Q. 求 |PB|/|BQ|的值.

已知函数 f(x) = 12 − x2.(I) 求曲线 y = f(x) 的斜率等于 −2 的切线方程;(II) 设曲线 y = f(x) 在点 (t, f(t)) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 S(t), 求 S(t) 的最小值.

三角函数

证明：(1+tanα)2=(1+sin2α)/cos2α.

求sin⁡(2arcsin(⁡4/5))的值.

函数f(x)=cos⁡x+(x+1)sin⁡x+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为【】

已知函数f(x)=cos2⁡x-sin2⁡x，则【】

函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为【】

函数f(x)=sinx,x∈[π/2,3π/2]的反函数f-1(x)=【】

计算3/2 cos-1+1/4 sin-1⁡(2√2π)/(2+π2 )+tan-1⁡(√2/π)的值为__________.

考虑下面2列，选择正确的选项【】列Ⅰ 列Ⅱ(Ⅰ) {x∈[-2π/3,2π/3]:cosx+sinx=1} (P)有2个元素(Ⅱ) {x∈[-5π/18,5π/18]:√3 tan3x=1} (Q)有3个元素(Ⅲ) {x∈[-6π/5,6π/5]:2cos2x=√3} (R)有4个元素(Ⅳ) {x∈[-7π/4,7π/4]:sinx-cosx=1} (S)有5个元素 (T)有6个元素

证明：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

证明：cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB.

三角函数及性质

求cos40°cos60°cos80°之值.

求证：sin⁡(2nx)/(2nsinx)=cosx∙cos2x∙⋯∙cos⁡(2n-1x )

设x,y,θ皆为实数，x²+y²=1，则必有|xcosθ+ysinθ|≤1.

求 cos20°cos40°cos80°的值.

设α,β,γ为三角形内角，求证tg(α/2)∙tg(β/2)+tg(β/2)∙tg(γ/2)+tg(γ/2)∙tg(α/2)=1.

已知函数f(x)=sin⁡(ωx+φ)，如图A,B是直线y=1/2与曲线y=f(x)的两个交点，若|AB|=π/6，则f(π)=________.

若sinθcosθ>0，则θ在【】

设f(x)=sin4⁡x-sinxcosx+cos4⁡x，则f(x)的值域是__________________.

记函数f(x)=cos⁡(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)=√3/2，x=π/9为f(x)的零点，则ω的最小值为____________．

函数f(x)=cos2⁡x-sin2⁡x+1的周期为________.