高中数学-高考试题(全国甲·理 2021年幂函数)

问答题（2021年全国甲·理）

已知a>0且a≠1，函数f(x)=x^a/a^x (x>0).

(1)当a=2时，求f(x)的单调区间；

(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.

答案解析

(1)当a=2时，f(x)=x2/2x ,f' (x)=(2x∙2x-x2 2x ln2)/(2x)2 =(x2x (2-xln2))/4x ,令f' (x)=0得x=2/ln2，当0<x<2/ln2时，f' (x)>0；当2/ln2<x时，f' (x)<0.∴函数f(x)在(0,2/ln2]上单调递增；在[2/ln2,+∞)上单调递减.(2)令f(x)=1，即xa=ax⟺xlna=alnx⟺lnx/x=lna/a,设g(x)=lnx/x,...

查看完整答案

讨论

指数函数

若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则【】

英：Find the value of , when x=1.汉：当x=1时,求之值.

试求 (根号内至无穷)

∛17与∜21之两数孰大________.

方程=5-16的所有正实数解的乘积为________.

管理综合指数函数

北京大学指数函数

某人每年存定款入银行，年利率依复利计算，若干年后得本利和恰为定款 3 倍设年数加倍.得本利和为定款之 5 倍，但取款时不存入定款，问年利率若干?

已知函数f(x)=4x+log2⁡x，则f(1/2)=______.

已知a=20.7,b=(1/3)0.7,c=log2(1/3)，则a,b,c的大小关系为【】

幂函数

圣约翰大学幂函数

已知2a=5,⁡log83=b，则4a-3b=【】

求4x+49y-28之平方根.

Evaluate to four significant figure by logarithm,

全国统考幂函数

化简下式：(1 - c2)-1/2 - {[(1+c)(1-c)]1/2+c2[(1+c)(1-c)]-1/2}.

计算：30+3-1 -()1/2.

在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G，该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是【】

将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为【】

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（t为参数），曲线C2的参数方程为，（s为参数）.（1）写出C1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ-sinθ=0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标.

导数的应用

证明：当0<x<1时，x-x²<sinx<x.

函数y=1+3x-x3有【】

函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为__________.

若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________．

已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-e⁡x2（a>0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是____________．

已知函数f(x)=ln⁡(1+x)+axe-x（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（2）若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．

已知函数f(x)=ex ln⁡( 1+x)．（1）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（2）设g(x)=f'(x)，讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性；（3）证明：对任意的s,t∈(0,+∞)，有f(s+t)>f(s)+f(t)．

过点(0,4)作曲线y=x3-x+2的切线，这条切线在x轴上的截距为【】

求使方程2x3-6x2+k=0恰有2个互异实数解的整数k共有多少个.

点P在直线上运动，t(t≥0)时刻的速度v(t)和加速度a(t)满足以下条件：(1)当0≤t≤2时，v(t)=2t3-8t.(2)当t≥2时，a(t)=6t+4.求点P从t=0到t=3时刻移动的距离.