高中数学-高考试题(全国甲·理 2021年幂函数)

问答题（2021年全国甲·理）

已知a>0且a≠1，函数f(x)=x^a/a^x (x>0).

(1)当a=2时，求f(x)的单调区间；

(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.

答案解析

(1)当a=2时，f(x)=x2/2x ,f' (x)=(2x∙2x-x2 2x ln2)/(2x)2 =(x2x (2-xln2))/4x ,令f' (x)=0得x=2/ln2，当0<x<2/ln2时，f' (x)>0；当2/ln2<x时，f' (x)<0.∴函数f(x)在(0,2/ln2]上单调递增；在[2/ln2,+∞)上单调递减.(2)令f(x)=1，即xa=ax⟺xlna=alnx⟺lnx/x=lna/a,设g(x)=lnx/x,...

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讨论

指数函数

函数y=lg10x中，x的取值范围是__________.

全国统考指数函数

设2a = 3,2b = 6,2c = 12，则a,b,c【】

已知函数f(x)=(2x-1)/(2x+1).(Ⅰ)证明: f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;(Ⅱ)证明对于任意不小于3的自然数n,都有f(n)>n/(n+1).

设a,b,c都是正数，且3a = 4b = 6c，那么【】

某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3小时,这种细菌由1个可以繁殖成【】

根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告,1999年上海市完成GDP(GDP是指国内生产总值)4035亿元,2000年上海市GDP预期增长9%.市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%.若GDP与人口均按这样的速度增长,则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍,至少需______年.(按:1999年本市常住人口总数约1300万)

设a>0,f(x)=ex/a+a/ex 是R上的偶函数.（Ⅰ）求a的值.（Ⅱ）证明f(x)在(0,+∞)上是增函数.

若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则【】

A man borrows $5000 at 4 percent compound interest, if the principal and interest are to be repaid by 10 equal instalments, find the amount of each instalment; having given 1g 1.04 =0.0170333 and lg675565=5.829667.

幂函数

圣约翰大学幂函数

全国统考幂函数

求4x+49y-28之平方根.

Evaluate to four significant figure by logarithm,

已知2a=5,⁡log83=b，则4a-3b=【】

化简下式：(1 - c2)-1/2 - {[(1+c)(1-c)]1/2+c2[(1+c)(1-c)]-1/2}.

计算：30+3-1 -()1/2.

已知(1-i)2z=3+2i，则z=【】

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=√3．（1）证明：BD⊥PA；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．

为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是【】

导数的应用

求过点(-1,0)并与曲线y=(x+1)/(x+2)相切的直线方程.

已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-e⁡x2（a>0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是____________．

已知函数f(x)=ex ln⁡( 1+x)．（1）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（2）设g(x)=f'(x)，讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性；（3）证明：对任意的s,t∈(0,+∞)，有f(s+t)>f(s)+f(t)．

切线与经过切点之弦所成之角可用其截弦之半量之,证：x=1/2 x'.

已知函数f(x)=a(ex+a)-x.（1）讨论f(x)的单调性；（2）证明：当a>0时，f(x)>2lna+3/2.

已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为【】

若函数f(x)=alnx+b/x+c/x² (a≠0)既有极大值也有极小值，则【】

曲线 y = lnx + x + 1 的一条切线的斜率为 2, 则该切线的方程为 ________________.

用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高多少时容器的面积容积最大？并求出它的最大容积。

函数y=1+3x-x3有【】