高中数学-高考试题(北京市 2024年充要条件)

单项选择（2024年北京市）

已知向量a,b，则“(a+b )∙(a-b )=0”是“a=b或a=-b”的【】条件.

A、必要而不充分条件

B、充分而不必要条件

C、充分且必要条件

D、既不充分也不必要条件

答案解析

A

【解析】

解答过程见word版

讨论

平面向量

已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|=【】

在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则(PA)⋅(PB)的取值范围是【】

设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则(PA1)2+(PA2)2+⋯+(PA8)2的取值范围是_______．

已知λ>0，向量|a|=|b|=|c|=λ，且a∙b=0,c∙b=1,c∙a=2，则λ=________.

在∆ABC中，(CA)→=a,(CB)→=b,D是AC的中点,(CB)→=2(BE)→,试用a,b表示(DE)→=________；若(AB)→⊥DE→，求∠C的最大值为______.

如图已知点A(-12),B(3,4)若点P(m,0)使得 |PB|- |PA| 最大，则m的值为【】

设i ̂,j ̂,k ̂分别为与三个坐标轴平行的单位向量，有向量a→=3i ̂+j ̂-k ̂,b→=i ̂+b2 j ̂+b3 k ̂,c→=c1 i ̂+c2 j ̂+c3 k ̂，其中，b2,b3,c1,c2,c3均为实数，且b2 b3>0,a→∙b→=0,=，则下列叙述正确的有【】

已知正方形 ABCD 的边长为 2, 点 P 满足 =1/2(+) ,则|| =______ ; · =______ .

如图, 在四边形 ABCD 中, ∠B = 60º, AB = 3, BC = 6, 且 =λ, ·= -3/2, 则实数 λ 的值为_____, 若 M, N 是线段 BC 上的动点, 且 || = 1, 则· 的最小值为______.

已知单位向量 e1, e2 满足|e1-e2 |≤, 设 a = e1 + e2, b = 3e1 + e2, 向量 a, b 的夹角为 θ, 则 cos2θ的最小值为_______.

逻辑与证明

已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1；命题q:∃x>0,x³=x，则【】

有红、黄、蓝3种不同颜色的帽子各足够多顶.一个游戏团队有n(n≥4)个人,每人都知晓团队的人数为n，帽子的颜色有红、黄、蓝3种可能. 他们围成一圈进行如下游戏：步骤1：AI给每个人分配一顶帽子，每人都看不到自己的帽子，只能看到与自己相邻的两人(即顺时针、逆时针离他最近的人)的帽子；步骤2：所有人同时猜自己的帽子颜色，只要有一个人猜对，就视作游戏团队获胜;若所有人都猜错，则AI获胜.游戏团队可在步骤1之前约定猜帽子颜色的策略.(1) n=4时，游戏团队是否有必胜策略？证明你的结论；(2) n=9999时，游戏团队是否有必胜策略？证明你的结论.

设向量a=(x+1,x),b=(x,2)，则【】

设α,β为两个平面，m,n为两条直线，且α∩β=m.下述四个命题：①若m∥n，则n∥α或n∥β②若m⊥n，则n⊥α或n⊥β③若n∥α，则n∥β或m∥n④若n与α,β所成角相等，则m⊥n其中所有真命题的编号是【】

记者：贵校是如何培养创新型人才的?受访者：大学生踊跃创新创业是我校的一个品牌。在相关课程学习中，我们注重激发学生创业的积极性，引导学生想创业；通过实训、体验，让学生能创业；通过学校提供专业化的服务，帮助学生创成业。在高校创业者收益榜中，我们学校名列榜首。以下哪项最可能是上述对话中受访者论述的假设?

某部门抽检了肉制品、白酒、乳制品、干果、蔬菜、水产品、饮料等7类商品共 521 种样品，发现其中合格样品515种，不合格样品6种。已知：(1)蔬菜、白酒中有2种不合格样品；(2)肉制品、白酒、蔬菜、水产品中有 5 种不合格样品；(3)蔬菜、乳制品、千果中有3 种不合格样品。根据上述信息，可以得出以下哪项?

时时刻刻总在追求幸福的人不一定能获得最大的幸福，刘某说自己获得了最大的幸福，所以，刘某从来不曾追求幸福。以下哪项与上述论证方式最为相似?

某中学举行田径运动会，高二(3)班甲、乙、丙、丁、戊、己6 人报名参赛。在跳远、跳高和铅球3项比赛中，他们每人都报名1~2项，其中2人报名跳远，3 人报名跳高，3人报名铅球。另外，还知道：(1)如果甲、乙至少有1人报名铅球，则丙也报名铅球：(2)如果己报名跳高，则乙和已均报名跳远；(3)如果丙、戊至少有1人报名铅球，则已报名跳高。根据以上信息，可以得出以下哪项?

某中学举行田径运动会，高二(3)班甲、乙、丙、丁、戊、己6 人报名参赛。在跳远、跳高和铅球3项比赛中，他们每人都报名1~2项，其中2人报名跳远，3 人报名跳高，3人报名铅球。另外，还知道：(1)如果甲、乙至少有1人报名铅球，则丙也报名铅球：(2)如果己报名跳高，则乙和已均报名跳远；(3)如果丙、戊至少有1人报名铅球，则已报名跳高。如果甲、乙均报名跳高，则可以得出以下哪项?

进入移动互联网时代，扫码点餐、在线排号、网购车票、电子支付等智能化生活方式日益普及，人们的生活越来越便捷。然而，也有很多老年人因为不会使用智能手机等设备，无法进入菜场、超市和公园，也无法上网娱乐与购物，甚至在新冠疫情期间因无法从手机中调出健康码而被拒绝乘坐公共交通。对此，某专家指出，社会正在飞速发展，不可能“慢”下来等老年人；老年人应该加强学习，跟上时代发展。以下哪项如果为真，最能质疑该专家的观点?

充要条件

设命题甲为lg⁡x2 = 0；命题乙为x = 1那么【】

对于直线m,n和平面α,β,α⊥β的一个充分条件是【】

两条直线A1 x+B1 y+C1=0,A2 x+B2 y+C2=0垂直的充要条件是【】

a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行且不重合的【】

等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则【】

设函数f(x)的定义域为[0,1].则“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的【】

已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的【】

已知非零向量,,，则“∙=∙”是“=”的【】

设f(x)=x3+log2⁡(x+)，对任意实数a,b,a+b≥0是f(a)+f(b)≥0的【】.

设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的【】