证明题(1985年全国统考

设a,b是两个实数,

A={(x,y)|x=n,y=na+b,n是整数},

B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m是整数},

C={(x,y)|x2+y2≤144} 

是平面xOy内的点集合.讨论是否存在a和b使得

(Ⅰ) A∩B≠∅ (∅表示空集),

(Ⅱ) (a,b)∈C

同时成立.

答案解析

如果实数a和b使得(Ⅰ)成立,于是存在整数m和n使得(n,na+b)=(m,3m2+15),即由此得出,存在整数n使得na+b=3n2+15,或写成na+b-(3n2+15)=0.这个等式表明点P(a,b)在直线l:na+b-(3n2+15)=0上,记从原点到直线l的距离为d,于是 d=(3n2+15)/=6(/2+2/)≥12 (因为...

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讨论

设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=【 】

Find all the groups of positive integers (a,b,p) satisfying p is a prime number and ap=b!+p.译文:求所有正整数组(a,b,p),满足:p为素数且ap=b!+p.

S是集合{1,2,…,2023}的子集,满足任意两个元素的平方和不是9的倍数,则|S|的最大值是______(这里|S|表示S的元素个数).

若集合A={1,2,m},其中m为实数.令B={a²|a∈A},C=A∪B.若C的所有元素之和为6,则C的所有元素之积为________.

已知集合 U = {−2, −1, 0, 1, 2, 3}, A = {−1, 0, 1}, B = {1, 2}, 则 CU (A ∪ B) =【 】

设集合 A = {x | 1 ⩽ x ⩽ 3}, B = {x | 2 < x < 4}, 则 A ∪ B =【 】

证明:存在正常数c具有卜述性质:对任意整数n>1,以及平面上n个点的集合 S ,若 S中任意两点之间的距离不小于 1 ,则存在一条分离 S 的直线l , 使得 S 中的每个点到直线的距离不小于cn-1/3 . (我们称直线l分离点集 S , 如果某条以S中两点为端点的线段与l相交.)注.如果证明了比cn-1/3 弱的估计cn-α ,会根据α>1/3 的值,适当给分.(中国台湾供题)

数值X={(2n+1)π,n是整数}与数集Y={(4k±1)π,k是整数}之间的关系是【 】。

设集合A={1,2},B={2,4,6},则A∪B=【 】

某校举办数学文化节,据统计当天共有980多(不少于980,小于990)名同学进校参观,每位同学进校参观一段时间后离开(之后不会再进来).若无论这些同学以怎样的时间安排参观,我们都能找到k位同学,使得要么这k位同学在某个时间都在校园内参观,要么任何时间他们中都没有两个人同时在校园内参观.求k的最大值.