证明题(1985年全国统考

设a,b是两个实数,

A={(x,y)|x=n,y=na+b,n是整数},

B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m是整数},

C={(x,y)|x2+y2≤144} 

是平面xOy内的点集合.讨论是否存在a和b使得

(Ⅰ) A∩B≠∅ (∅表示空集),

(Ⅱ) (a,b)∈C

同时成立.

答案解析

如果实数a和b使得(Ⅰ)成立,于是存在整数m和n使得(n,na+b)=(m,3m2+15),即由此得出,存在整数n使得na+b=3n2+15,或写成na+b-(3n2+15)=0.这个等式表明点P(a,b)在直线l:na+b-(3n2+15)=0上,记从原点到直线l的距离为d,于是 d=(3n2+15)/=6(/2+2/)≥12 (因为...

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