大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 2025年二重积分)

单项选择（2025年理工数学Ⅱ）

设函数f(x,y)连续，则∫_-2^²dx ∫_4-x²⁴f(x,y)dy=【】

A、

B、

C、

D、

答案解析

A

讨论

大学数学

设函数f(x),g(x)在x=0的某去心领域内有定义且恒不为零.若x→0时，f(x)是g(x)的高阶无穷小，则当x→0时【】

如果对微分方程y''-2ay'+(a+2)y=0的任一解y(x)，反常积分∫0+∞y(x)dx均收敛，则a的取值范围是【】

已知函数f(x)=∫0xet² sintdt,g(x)=∫0xet²dt∙sin²⁡x，则【】

设函数z=z(x,y)由z+lnz-∫yxe-t² dt=0确定，则∂z/∂x+∂z/∂y=【】

投保人的损失事件发生时,保险公司的赔付额Y与投保人的损失额X的关系为Y=设损失事件发生时，投保人的损失额X的概率密度为f(x)=(1)求P{Y>0}及E(Y).(2)这种损失事件在一年内发生的次数记为N，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为M，假设N服从参数为8的泊松分布，在N=n(n≥1)的条件下，M服从二项分布B(n,P)，其中P=P{Y>0},求M的概率分布.

设矩阵A=，已知1是A的特征多项式的重根.(1)求a的值；(2)求所有满足Aα=α+β,A²α=α+2β的非零列向量α,β.

设Σ是由直线绕直线 (t为参数)旋转一周得到的曲面，Σ1是Σ介于平面x+y+z=0与x+y+z=1之间部分的外侧，计算曲面积分∬Σ1xdydz+(y+1)dzdx+(z+2)dxdy.

设函数f(x)在区间(a,b)内可导，证明：导函数f'(x)在(a,b)内严格单调增加的充分必要条件是：对(a,b)内任意的x1,x2,x3，当x1<x2<x3时，(f(x2 )-f(x1))/(x2-x1 )<(f(x3 )-f(x2))/(x3-x2 )

已知函数f(u)在(0,+∞)内具有二阶导数，记g(x,y)=f(x/y)，若g(x,y)满足：x²(∂²g)/(∂x² )+xy (∂²g)/∂x∂y+y²(∂²g)/(∂y² )=1，且g(x,x)=1, ∂g/∂x|(x,x)=2/x，求f(u).

计算1/((x+1)(x²-2x+2)) dx.

重积分

设f(x,y)是连续函数，则dxf(x,y)dy=【】

设f(x,y)是连续函数，则dxf(x,y)dy=【】

求三重积分∭Ω(x2+y2)dxdydz，其中积分区域Ω为x2+y2=2z与z=1围成的区域.

求∭Ω(x2+y2+z)dV，其中Ω是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围成的立体.

计算I=∭Ω(x2+y2)dV，其中Ω为平面曲线绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域.

设g(x)在[0,+∞)上有连续导数，并且g(0)=1，令f(r)=∭x^2+y^2+z^2≤r^2 g(x2+y2+z2)dxdydz,r≥0证明：f(r)在r=0处三阶可导，并求f+''' (0).

已知V是三个坐标平面以及x+y+2z=1,x+y+2z=2围成的封闭区域，求∭V1/(x+y+2z)2 dV

已知u是Ω=[0,1]×[0,1]×[0,1]上的正值连续函数，Ip(u)=(∭Ωupdxdydz)1/p证明：Ip(u)=

设空间区域Ω1:x2+y2+z2≤R2,z≥0,Ω2:x2+y2+z2≤R2,x≥0,y≥0,z≥0，则【】

计算三重积分∭Ω(x+z)dV，其中Ω是由曲面z=与z=所围成的区域.

二重积分

计算∬Ωe(x-y)/(x+y) dΩ，其中Ω:x≥0,y≥0,x+y≤1.

计算二重积分：∬Dds其中，积分区域D为曲线y(x)=与直线y=0所围成的区域.提示：①首先考察曲线y=y(x)⟹F(x,y)=0为何种曲线，②然后采用“平面极坐标”方法作计算？

设半径为R的球面Σ的球心在定球面x2+y2+z2=a2 (a>0)上，问当R为何值时，球面Σ在定球面内部的那部分的面积最大？

积分dxdy=__________.

设D是xOy平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则∬D(xy+cosxsiny)dxdy等于【】

设区域D为x2+y2≤R2，则∬D(x2/a2 +y2/b2 )dxdy=____________.

设函数f(x)在区间[0,1]上连续，并设f(x) dx=A,求dxf(x)f(y)dy.

已知函数f(t)=dxsin(x/y)dy，则f'(π/2)=______.

计算二重积分∬D3x/(x2+xy3 ) dxdy,D:平面曲线xy=1,xy=3,y2=x,y2=3x所围成的有界闭区域.

已知函数f(x)=，则dxf(x)f(y-x)dy=__________.