初中数学-中考试题(北京市 2022年直线和圆)

证明题（2022年北京市）

如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD连接AC,OD

(1)求证：∠BOD=2∠A;

(2)连接DB,过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于点E，延长DO,交AC于点F，若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线。

答案解析

(1)设AB交CD于点H，连接OC，由题可知，OC=OD，∠OHC=∠OHD=90°.∵OH=0H，∴Rt△COH≌Rt△DOH(HL)∴∠COH=∠DOH，∴弧BC=弧BD，∴∠COB=∠BOD，∵∠COB=2∠A，∴∠BOD=2∠A;(2)连接AD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，同理可得：∠OAC=∠OCA,∠OCD=∠ODC，∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，∴∠OAD=∠ODA=∠OA...

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讨论

直线和圆

已知AB为⨀O的直径，AB=6,C为⨀O上一点，连接CA,CB. (I)如图①，若C为弧AB的中点，求∠CAB的大小和AC的长；(Ⅱ)如图②，若AC=2,OD为⨀O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⨀O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长.

某款“不倒翁”（左图）的主视图（右图）中，PA,PB分别与(AMB) ̂所在圆相切于点A,B.若该圆半径是9cm,∠P=40°，则(AMB) ̂的长是【】

如图，△ABC内接于⨀O，AD是⨀O的直径，若∠B=20°，则∠CAD的度数是【】

如图，△ABC内接于☉O中,BC=2,AB=AC,点D为弧AC上的动点，且cosB=√10/10.(1)求AB的长度;(2)如图(1)，在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD·AE的值是否变化?若不变，请求出AD·AE 的值;若变化，请说明理由.(3)如果(2)，在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH=CD+DH.

如图（左），已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长DB交⊙0于点E，连接AE.(1)求证：AE是⊙O的直径;(2)如图（右），连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和.(结果保留T与根号)

如图，AB是⨀O的直径，点C是⨀O上异于A,B的点，连接AC,BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA=∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC. (1)求证：DC是⨀O的切线；(2)若OA/OD=2/3,BE=3，求DA的长.

如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC=3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD=1，则⊙O的直径为【】

如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB≠CD，∠ABC=90°，点EF分别在线段BC、AD上，且EF//CD，AB=AF，CD=DE.(1)求证：CF⊥FB;(2)求证：以AD为直径的圆与BC相切;(3)若EF=2，∠DFE=120°，求△ADE的面积.

如图，AB为⨀O的弦，D,C为弧ACB的三等分点，AC//BE. (1)求证：∠A=∠E;(2)若BC=3,BE=5，求CE的长.

一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若ACB=60°，则劣弧AB的长是【】

全等

如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是【】

如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α,M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到AE，连接BE,DE.(1)比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系，并证明；(2)过点M作AB的垂线，交DE于点N,用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明.

如图，四边形ABCD中，AD//BC,∠ABC=90°,∠C=30°,AD=3,AB=2√3,DH⊥BC于点H,将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q=90°,∠QPM=30°,PM=4√3. (1)求证：△PQM≅△CHD;(2) △PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移(图2)，当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转(图3)，当边PM旋转50°时停止.①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积;②如图2点K在BH上，且BK=9-4√3.若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旅转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域(含边界)内的时长;③如图3在△PQM旋转过程中，设PQ,PM分别交BC于点E,F，若BE=d，直接写出CF的长(用含d的式子表示).

如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN=45°.把ΔADN绕点A顺时针旋转90°得到ΔABE. （1）求证：ΔAEM≌ΔANM.（2）若BM=3，DN=2，求正方形ABCD的边长.

已知：如图，E、F在AC上，AD//CB且AD=CB，∠D=∠B.求证：AE=CF.

如图所示、△AOB和△COD均为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,D在AB上.(1)求证:△AOC≌△BOD;(2)若AD=1,BD=2,求CD的长.

如图，AC与BD交于点O，OA=OD，∠ABO=∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF//CD，交BD的延长线于点F.(1)求证△AOB≌△DOC;(2)若AB=2,BC=3,CE=1，求EF的长.

如图，在四边形ABCD中，AD=BC,AC=BD,AC与BD相交于点E.求证：∠DAC=∠CBD.

如图，点E、F在线段BC上，AB//CD，∠A=∠D,BE=CF，证明：AE=DF.

在△ABC中，∠ACB=90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC延长DC到点E，使得CE=DC. (1)如图(左)，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF、EF，若AF⊥EF，求证：BD⊥AF.(2)连接AE，交BD的延长线干点H，连接CH，依题意补全图(右)，若AB²=AE²+BD²，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明.

圆

如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及∠DPF的一边上的点E，F均在格点上.(I)线段EF的长等于________;(Ⅱ)若点M，N分别在射线PD，PF上，满足∠MBN=90°且BM=BN.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的(不要求证明)__________.

如图，在Rt ΔABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，分别以点A和B为圆心，以大于1/2 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE=3，则BE的长为_________.

如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE=3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB,AD于点F,G,DF与AE交于点H.并与⨀A交于点K，连接HG,HC.给出下列四个结论，其中正确的有________（填写所有正确结论的序号）(1) H是FK的中点； (2) △HGD≅△HEC；(3) S△AHG:S△DHC=9:16; (4) DK=7/5

如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B是切点.若∠P=50°，则∠AOB=________.

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E.(1)求证：∠BAD=∠CAD；(2)连接并延长OB，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC.若⊙O的半径为5，OE=3,求GC和OF的长.

在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B'C'(B',C'分别是BC的对应点)，则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”.(1)如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数，在线段B1C1，B2C2， B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是__________;(2)△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0，t)，其中t≠0.若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；(3)在△ABC中，AB=1，AC=2.若BC是△O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长。

如图，⊙O是ΔABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE=AB. （1）求∠ACB的度数；（2）若DE=2，求⊙O的半径.

如图，ΔABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA=EB，则∠DOE的度数是_______度．

如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A，且∠CAD=∠ABD．（1）求证：AD=CD；（2）若AB=4，BF=5，求sin⁡∠ BDC的值．

如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．