中考题2020年山东省枣庄市( )

如图,抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(﹣3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,AC,BC.M为线段OB上的一个动点,过点M作PM⊥x轴,交抛物线于点P,交BC于点Q.

(1)求抛物线的表达式;

(2)过点P作PN⊥BC,垂足为点N.设M点的坐标为M(m,0),请用含m的代数式表示线段PN的长,并求出当m为何值时PN有最大值,最大值是多少?

(3)试探究点M在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得,解得

故抛物线的表达式为:y=﹣1/3x2+1/3x+4;

(2)由抛物线的表达式知,点C(0,4),

由点B、C的坐标得,直线BC的表达式为:y=﹣x+4;

设点M(m,0),则点P(m,﹣1/3m2+1/3m+4),点Q(m,﹣m+4),

∴PQ=﹣1/3m2+1/3m+4+m﹣4=﹣1/3m2+4/3m,

∵OB=OC,故∠ABC=∠OCB=45°,

∴∠PQN=∠BQM=45°,

∴PN=PQsin45°=/2(﹣1/3m2+4/3m)=﹣/6(m﹣2)2+(2)/3,

∵﹣/6<0,故当m=2时,PN有最大值为(2)/3;

(3)存在,理由:

点A、C的坐标分别为(﹣3,0)、(0,4),则AC=5,

①当AC=CQ时,过点Q作QE⊥y轴于点E,

则CQ2=CE2+EQ2,即m2+[4﹣(﹣m+4)]2=25,

解得:m=±(5)/2(舍去负值),

故点Q((5)/2,(8-5)/2);

②当AC=AQ时,则AQ=AC=5,

在Rt△AMQ中,由勾股定理得:[m﹣(﹣3)]2+(﹣m+4)2=25,解得:m=1或0(舍去0),

故点Q(1,3);

③当CQ=AQ时,则2m2=[m-(﹣3)]2+(﹣m+4)2,解得:m=25/2(舍去);

综上,点Q的坐标为(1,3)或((5)/2,(8-5)/2).

中考题2020年山东省枣庄市( )

在△ABC中,∠ACB=90°,CD是中线,AC=BC,一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转,使角的两边分别与AC、BC的延长线相交,交点分别为点E、F,DF与AC交于点M,DE与BC交于点N.

 

(1)如图1,若CE=CF,求证:DE=DF;

(2)如图2,在∠EDF绕点D旋转的过程中,试证明CD2=CE•CF恒成立;

(3)若CD=2,CF=,求DN的长.

(1)证明:∵∠ACB=90°,AC=BC,CD是中线,

∴∠ACD=∠BCD=45°,∠ACF=∠BCE=90°,

∴∠DCF=∠DCE=135°,

在△DCF和△DCE中,

∴△DCF≌△DCE(SAS)

∴DE=DF;

(2)证明:∵∠DCF=135°,

∴∠F+∠CDF=45°,

∵∠FDE=45°,

∴∠CDE+∠CDF=45°,

∴∠F=∠CDE,

∵∠DCF=∠DCE,∠F=∠CDE,

∴△FCD∽△DCE,

∴CF/CD=CD/CE,

∴CD2=CE•CF;

(3)解:过点D作DG⊥BC于G,

∵∠DCB=45°,

∴GC=GD=/2CD=

由(2)可知,CD2=CE•CF,

∴CE=CD2/CF=2

∵∠ECN=∠DGN,∠ENC=∠DNG,

∴△ENC∽△DNG,

∴NC/NG = CE/DG,即(-NG)/NG = (2)/

解得,NG=/3,

由勾股定理得,DN==(2)/3.

中考题2020年山东省枣庄市( )

如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠BAC=2∠CBF.

(1)求证:BF是⊙O的切线;

(2)若⊙O的直径为4,CF=6,求tan∠CBF.

(1)证明:连接AE,

∵AB是⊙O的直径,

∴∠AEB=90°,

∴∠1+∠2=90°.

∵AB=AC,

∴2∠1=∠CAB.

∵∠BAC=2∠CBF,

∴∠1=∠CBF

∴∠CBF+∠2=90°

即∠ABF=90°

∵AB是⊙O的直径,

∴直线BF是⊙O的切线;

(2)解:过C作CH⊥BF于H,

∵AB=AC,⊙O的直径为4,

∴AC=4,

∵CF=6,∠ABF=90°,

∴BF==2

∵∠CHF=∠ABF,∠F=∠F,

∴△CHF∽△ABF,

∴CH/AB = CF/AF,

∴CH/4 = 6/(4+6),

∴CH=12/5,

∴HF==(6)/5,

∴BH=BF﹣HF=2﹣(61)/5=(4)/5,

∴tan∠CBF=CH/BH=((12/5)/(4))/5=/7.

中考题2020年山东省枣庄市( )

如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=1/2x+5和y=﹣2x的图像相交于点A,反比例函数y=k/x的图象经过点A.

(1)求反比例函数的表达式;

(2)设一次函数y=1/2x+5的图像与反比例函数y=k/x的图像的另一个交点为B,OB,求△ABO的面积.

(1)联立y=1/2x+5 ①和y=﹣2x并解得:x=-2,y=4,故点A(﹣2.4),

将点A的坐标代入反比例函数表达式得:4=k/(-2),解得:k=﹣8,

故反比例函数表达式为:y=﹣8/x ②;

(2)联立①②并解得:x=﹣2或﹣8,

当x=﹣8时,y=1/2x+5=1,故点B(﹣8,1),

设y=1/2x+5交x轴于点C(﹣10,0),过点A、B分别作x轴的垂线交于点M、N,

则S△AOB=S△AOC﹣S△BOC=1/2OC•AM - 1/2OC•BN

=1/2×4×10 - 1/2×10×1=15.

中考题2020年山东省枣庄市( )

2020年,新型冠状病毒肆虐全球,疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼,学习和身体健康状况都有一定的影响.为了解学生身体健康状况,某校对学生进行立定跳远水平测试.随机抽取50名学生进行测试,并把测试成绩(单位:m)绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图.

学生立定跳远测试成绩的频数分布表

请根据图表中所提供的信息,完成下列问题:

(1)表中a=_______,b=_______;

(2)样本成绩的中位数落在_______范围内;

(3)请把频数分布直方图补充完整;

(4)该校共有1200名学生,估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x<2.8范围内的有多少人?

(1)由统计图得,a=8,b=50﹣8﹣12﹣10=20,

故答案为:8,20;

(2)由中位数的意义可得,50个数据从小到大排列处在中间位置的两个数在2.0≤x<2.4组内,

故答案为:2.0≤x<2.4;

(3)补全频数分布直方图如图所示:

 

(4)1200×10/50=240(人),

答:该校1200名学生中立定跳远成绩在2.4≤x<2.8范围内的有240人.