中考题2020年山东省枣庄市( )

在△ABC中,∠ACB=90°,CD是中线,AC=BC,一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转,使角的两边分别与AC、BC的延长线相交,交点分别为点E、F,DF与AC交于点M,DE与BC交于点N.

 

(1)如图1,若CE=CF,求证:DE=DF;

(2)如图2,在∠EDF绕点D旋转的过程中,试证明CD2=CE•CF恒成立;

(3)若CD=2,CF=,求DN的长.

(1)证明:∵∠ACB=90°,AC=BC,CD是中线,

∴∠ACD=∠BCD=45°,∠ACF=∠BCE=90°,

∴∠DCF=∠DCE=135°,

在△DCF和△DCE中,

∴△DCF≌△DCE(SAS)

∴DE=DF;

(2)证明:∵∠DCF=135°,

∴∠F+∠CDF=45°,

∵∠FDE=45°,

∴∠CDE+∠CDF=45°,

∴∠F=∠CDE,

∵∠DCF=∠DCE,∠F=∠CDE,

∴△FCD∽△DCE,

∴CF/CD=CD/CE,

∴CD2=CE•CF;

(3)解:过点D作DG⊥BC于G,

∵∠DCB=45°,

∴GC=GD=/2CD=

由(2)可知,CD2=CE•CF,

∴CE=CD2/CF=2

∵∠ECN=∠DGN,∠ENC=∠DNG,

∴△ENC∽△DNG,

∴NC/NG = CE/DG,即(-NG)/NG = (2)/

解得,NG=/3,

由勾股定理得,DN==(2)/3.

中考题2020年山东省枣庄市( )

如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠BAC=2∠CBF.

(1)求证:BF是⊙O的切线;

(2)若⊙O的直径为4,CF=6,求tan∠CBF.

(1)证明:连接AE,

∵AB是⊙O的直径,

∴∠AEB=90°,

∴∠1+∠2=90°.

∵AB=AC,

∴2∠1=∠CAB.

∵∠BAC=2∠CBF,

∴∠1=∠CBF

∴∠CBF+∠2=90°

即∠ABF=90°

∵AB是⊙O的直径,

∴直线BF是⊙O的切线;

(2)解:过C作CH⊥BF于H,

∵AB=AC,⊙O的直径为4,

∴AC=4,

∵CF=6,∠ABF=90°,

∴BF==2

∵∠CHF=∠ABF,∠F=∠F,

∴△CHF∽△ABF,

∴CH/AB = CF/AF,

∴CH/4 = 6/(4+6),

∴CH=12/5,

∴HF==(6)/5,

∴BH=BF﹣HF=2﹣(61)/5=(4)/5,

∴tan∠CBF=CH/BH=((12/5)/(4))/5=/7.

中考题2020年山东省枣庄市( )

欧拉(Euler,1707年~1783年)为世界著名的数学家、自然科学家,他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献.他对多面体做过研究,发现多面体的顶点数V(Vertex)、棱数E(Edge)、面数F(Flatsurface)之间存在一定的数量关系,给出了著名的欧拉公式.

(1)观察下列多面体,并把下表补充完整:

(2)分析表中的数据,你能发现V、E、F之间有什么关系吗?请写出关系式:__________.

(1)填表如下:

(2)∵4+4﹣6=2,

6+5﹣9=2,

8+6﹣12=2,

6+8﹣12=2,

…,

∴V+F﹣E=2.

即V、E、F之间的关系式为:V+F﹣E=2.

故答案为:6,9,12,6,V+F﹣E=2.

中考题2020年山东省枣庄市( )

各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形,它的面积S可用公式S=a+1/2b﹣1(a是多边形内的格点数,b是多边形边界上的格点数)计算,这个公式称为“皮克(Pick)定理”.如图给出了一个格点五边形,则该五边形的面积S=_______.

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中考题2020年山东省枣庄市( )

如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是_______.

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