初中数学-中考试题(北京市 2021年全等)

证明题（2021年北京市）

如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α,M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到AE，连接BE,DE.

(1)比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系，并证明；

(2)过点M作AB的垂线，交DE于点N,用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明.

答案解析

(1)∵∠BAE=∠BAC=α∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD即∠BAE=∠CAD在△ABE和△ACD中AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD∴△ABE≌△ACD(SAS)∴BE=CD∵M为BC的中点，∴BE+MD=CM=BM(2)如图，作EH⊥AB,交BC于H,由(...

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讨论

全等

如图，△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF【】

如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN=45°.把ΔADN绕点A顺时针旋转90°得到ΔABE. （1）求证：ΔAEM≌ΔANM.（2）若BM=3，DN=2，求正方形ABCD的边长.

已知：如图，E、F在AC上，AD//CB且AD=CB，∠D=∠B.求证：AE=CF.

如图所示、△AOB和△COD均为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,D在AB上.(1)求证:△AOC≌△BOD;(2)若AD=1,BD=2,求CD的长.

如图，AC与BD交于点O，OA=OD，∠ABO=∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF//CD，交BD的延长线于点F.(1)求证△AOB≌△DOC;(2)若AB=2,BC=3,CE=1，求EF的长.

如图，在四边形ABCD中，AD=BC,AC=BD,AC与BD相交于点E.求证：∠DAC=∠CBD.

如图，点E、F在线段BC上，AB//CD，∠A=∠D,BE=CF，证明：AE=DF.

在△ABC中，∠ACB=90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC延长DC到点E，使得CE=DC. (1)如图(左)，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF、EF，若AF⊥EF，求证：BD⊥AF.(2)连接AE，交BD的延长线干点H，连接CH，依题意补全图(右)，若AB²=AE²+BD²，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明.

如图，四边形ABCD中，AD//BC,∠ABC=90°,∠C=30°,AD=3,AB=2√3,DH⊥BC于点H,将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q=90°,∠QPM=30°,PM=4√3. (1)求证：△PQM≅△CHD;(2) △PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移(图2)，当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转(图3)，当边PM旋转50°时停止.①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积;②如图2点K在BH上，且BK=9-4√3.若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旅转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域(含边界)内的时长;③如图3在△PQM旋转过程中，设PQ,PM分别交BC于点E,F，若BE=d，直接写出CF的长(用含d的式子表示).

如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是【】

三角形

以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1~4.(1)在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=2，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如下表:(单位:厘米)(2)根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析；①设BC=x,AC+BC=y，以(x,y)为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点；②连线；观察思考(3)结合表中的数据以及所面的图像，猜想.当x=__________时，y最大；(4)进一步C猜想:若Rt△MBC中，∠C=90°，斜边AB=2a(a为常数，a>0)，则BC= _________时，AC+BC最大.推理证明(5)对(4)中的猜想进行证明.问题1.在图①中完善(2)的描点过程，并依次连线；问题2.补全观察思考中的两个猜想:(3) _______ (4) _______问题3.证明上述(5)中的猜想:问题4.图②中折线B-E-F-G-A是一个感光元件的截面设计草图，其中点A,B间的距离是4厘米，AG=BE=1厘米，∠E=∠F=∠G=90°,平行光线从AB区域射入，∠BNE=60°,线段FM、FN为感光区城，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值.

如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，CD⊥AB于点D.点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F.设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是【】

如图，在ΔABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D，若BC=4，则CD的长为_________.

如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE=DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到ΔEF1B；点F2是CF_1的中点，连接EF2，BF2，得到ΔEF2 B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到ΔEF3 B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则ΔEFn B的面积为_________.（用含正整数n的式子表示）

一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为【】

如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为【】

如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=4/5，则AC=______.

已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图(1)放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G，∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，AB=DE=4. (1)求证：△EGB是等腰三角形；(2)若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小______度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形(如图(2)).求此梯形的高.

如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路，现新修一条路AC到公路l，小明测量出∠ACD=30°，∠ABD=45°，BC=50m，请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度(精确到0.1m;参考数据：≈1.414，≈1.732)

如图,小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=3/4,在与山脚C距离200米的D处,测得山顶A的仰角为26.6°,求小山岗的高AB(结果取整数:参考数据:sin26:6°=0.45, cos26.6°=0.89, tan26.6°=0.50).

几何图形

如图，从一块半径为1m 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________m.

如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2=60°，那么∠3是【】

如图，四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF=BE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）连接ED，若∠AED=90°，AB=4，BE=2，求四边形AEFD的面积．

如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是_____，位置关系是______；（2）问题探究：如图②，ΔAO'E是将图①中的ΔAOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断ΔPQB的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，ΔAO'E是将图①中的ΔAOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求ΔPQB的面积．

一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1=20°，则∠2的度数是【】

如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离.（结果保留根号）

如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝_______．

人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是_______m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：__________．

如图，已知∠1=70°，如果CD//BE，那么∠B的度数为【】