问答题(2020年江苏省盐城市

以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录,请阅读后完成虚线框下方的问题1~4.

(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,在探究三边关系时,通过画图,度量和计算,收集到,组数据如下表:(单位:厘米)

(2)根据学习函数的经验,选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析;

①设BC=x,AC+BC=y,以(x,y)为坐标,在图①所示的坐标系中描出对应的点;

②连线;

观察思考

(3)结合表中的数据以及所面的图像,猜想.当x=__________时,y最大;

(4)进一步C猜想:若Rt△MBC中,∠C=90°,斜边AB=2a(a为常数,a>0),则BC= _________时,AC+BC最大.

推理证明

(5)对(4)中的猜想进行证明.

问题1.在图①中完善(2)的描点过程,并依次连线;

问题2.补全观察思考中的两个猜想:(3) _______ (4) _______

问题3.证明上述(5)中的猜想:

问题4.图②中折线B-E-F-G-A是一个感光元件的截面设计草图,其中点A,B间的距离是4厘米,AG=BE=1厘米,∠E=∠F=∠G=90°,平行光线从AB区域射入,∠BNE=60°,线段FM、FN为感光区城,当EF的长度为多少时,感光区域长度之和最大,并求出最大值.

答案解析

问题1:图 问题2:(3)2(4)√2 a问题3:法一:(判别式法)证明:设BC=x,AC=BC=y在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC==,∴y=x+∴y-x=y2-2xy+x2=4a2-x2,2x2-2xy+y2-4a2=0,∵关于x的元二次方程有实根,∴b2-4ac=4y2-4×2⋅(x2-4a2 )≥0,∴y2≤8a2,∵y>0,a>0,∴y≤2 a,当y取最大值2√2 a时,2x2-4 ax+4a2=0( x-2a)2=0x1=x2=a∴当BC= a时,y有最大值.法二:(基本不等式)设BC=m,AC=n,AC+BC=y在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴m2+n2=4a2∵(m-n)2≥0, ∴m2+n2≥2mn.当m=n时,等式成立∴4a2≥2mn,mn≤2a2.∵y=m+n==,∵mn≤2a2,∴y≤2a,∴当BC=AC=a时,y有最大值.问题4:延长AM交EF于点C,过点A作AH⊥EF于点H,垂足为H,过点B作BK⊥GF交于点K,...

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讨论

木门常常需要雕刻美丽的图案.(1)图①为某矩形木门示意图,其中AB长为200厘米,AD长为100厘米,阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具,刻刀的位置在模具的中心点P处,在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边,所刻图案如虚线所示,求图案的周长;(2)如图②,对于(1)中的木门,当模具换成边长为30厘米的等边三角形时,刻刀的位置仍在模具的中心点P处,雕刻时也始终保持模具的一边紧贴本门的一边,使模具进行滑动雕刻.但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时,需将模具绕着重合点进行旋转雕刻,直到模具的另一边与木门的另一边重合.再滑动模具进行雕刻,如此雕刻一周,请在图②中画出雕刻所得图案的草阁,并求其周长.

若二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个交点M(x1,0),N(x2,0)(0<x1<x2 ),且经过点A(0,2),过点A的直线l与x轴交于点C,与该函数的图像交于点B (异于点A).满足△ACN是等腰直角三角形,记△AMN的面积为S1,△BMN的面积为S2,且S2=5/21.(1)抛物线的开口方向______(填“上”或“下”);(2)求直线l相应的函数表达式;(3)求该二次函数的表达式.

如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,∠DCA=∠B. (1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若DE⊥AB,垂足为E,DE交AC与点;求证:△DCF是等腰三角形.

生活在数字时代的我们,很多场合用二维码(如图①)来表示不同的信息,类似地,可通过在矩形网格中,对每一个小方格涂加色或不涂色所得的图形来表示不同的信息,例如:网格中只有一个小方格,如图②,通过涂器色或不涂色可表示两个不同的信息. (1)用树状图或列表格的方法,求图③可表示不同信息的总个数:(图中标号1,2表示两个不同位置的小方格,下同) (2)图④为2×2的网格图.它可表示不同信息的总个数为__________; (3)某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”,准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示各人身份信息,若该校师生共492人,则n的最小值为__________.

在某次疫情发生后,根据疾控部门发布的统计数据,绘制出如下统计图:图①为A地区累计确诊人数的条形统计图,图②为B地区新增确诊人数的折线统计图. (1)根据图①中的数据,A地区星期三累计确诊人数为__________,新增确诊人数为__________;(2)已知A地区星期一新增确诊人数为14人,在图②中画出表示A地区新增确诊人数的折线统计图.(3)你对这两个地区的疫情做怎样的分析,推断?

如图,点O是正方形,ABCD的中心. (1)用直尺和圆规在正方形内部作一点E (异于点O),使得EB=EC; (保留作图痕迹,不写作法)(2)连接EB、EC、EO,求证:∠BEO=∠CEO.

如图,在△ABC中,∠C=90°,tan⁡A=/3,∠ABC的平分线BD交AC于点D.CD=.求AB的长?

先化简,再求值:,其中m=-2.

江苏省盐城市一元一次不等式组

计算:23-+(2/3-π)0.

如图,有一张一个角为 30°,最小边长为2的直角三角形纸片,沿图中所示的中位线剪开后,将两部分拼成一个四边形,所得四边形的周长是【 】

小明去爬山,在山脚看山顶角度为30°,小明在坡比为5:12的山坡上走1300米,此时小明看山顶的角度为 60°,求山高【 】

在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AC=6,BC=8,CD=________.

已知BD 垂直平分AC,∠BCD=∠ADF,AF⊥AC.(1)证明四边形ABDF是平行四边形;(2)若AF=DF=5,AD=6,求AC的长.

如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,Rt△MPN,∠MPN=90°,点P在AC上,PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时,AP=________.

如图,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足为D,E为BC的中点,AE与CD交于点F,则DF的长为_______.

阅读与思考下面是小宇同学的数学日记,请仔细阅读并完成相应的任务.×年×月×日星期日没有直角尺也能作出直角今天,我在书店一本书上看到下面材料:木工师傅有一块如图①所示的四边形木板,他已经在木板上画出一条裁割线AB,现根据木板的情况,要过AB上的一点C,作出AB的垂线,用锯子进行裁割,然而手头没有直角尺,怎么办呢?办法一:如图①,可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30cm,然后分别以D,C为圆心,以50cm与40cm为半径画圆弧,两弧相交于点E,作直线CE,则∠DCE必为90°. 办法二:如图②,可以取一根笔直的木棒,用铅笔在木棒上点出M,N两点,然后把木棒斜放在木板上,使点M与点C重合,用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q,保持点N不动,将木棒绕点N旋转,使点M落在AB上,在木板上将点M对应的位置标记为点R.然后将RQ延长,在延长线上截取线段QS=MN,得到点S,作直线SC,则∠RCS=90°.我有如下思考:以上两种办法依据的是什么数学原理呢?我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢?……任务:(1)填空;“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________;(2)根据“办法二”的操作过程,证明∠RCS=90°;(3)①尺规作图:请在图③的木板上,过点C作出AB的垂线(在木板上保留作图痕迹,不写作法);②说明你的作法依据的数学定理或基本事实(写出一个即可)

如图所示,某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度,已知标杆BE高1.5m,测得AB=1.2m,BC=12.8m,则建筑物CD的高是【 】

如图所示,∠AOB是放置在正方形网格中的一个角,则sin⁡∠AOB的值是________.

如图,在ΔABC中,D是BC边上一点,且BD=BA. (1)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法):①作∠ABC的角平分线交AD于点E;②作线段DC的垂直平分线交DC于点F.(2)连接EF,直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系.

①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体,若组合其中的两个,恰是由6个小正方体构成的长方体,则应选择【 】

根据所标数据,下列一定为平行四边形的是【 】

某款“不倒翁”(左图)的主视图(右图)中,PA,PB分别与(AMB) ̂所在圆相切于点A,B.若该圆半径是9cm,∠P=40°,则(AMB) ̂的长是【 】

要得知作业纸上两相交直线AB,CD所夹锐角的大小,发现其交点不在作业纸内,无法直接测量,两同学提供了如下间接测量方案(如图1和图2):对于方案I、Ⅱ,说法正确的是【 】方案I①作一直线GH,交AB,CD于点E,F;②利用尺规作∠HFN=∠CFG;③测量∠AEH的大小即可.方案 Ⅱ①作一直线GH,交AB,CD于点E,F;②测量∠AEH和∠CFG的大小;③计算180°-∠AEH-∠CFG即可.

平面内,将长分别为 1,5,1,1,d的线段,顺次首尾相接组成凸五边形(如图),则d可能是【 】

如图是钉板示意图,每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点,钉点A,B的连线与钉点 C,D的连线交于点E,则(1)AB与CD是否垂直?______(填是”或否")(2)AE=______.

如图,Rt△ABC是一块直角三角板,其中∠C=90°,∠BAC=30°.直尺的一边DE经过顶点A,若DE//CB,则∠DAB的度数为【 】

如图,△ABC内接于⨀O,AD是⨀O的直径,若∠B=20°,则∠CAD的度数是【 】

如图,扇形纸片AOB的半径为3,沿AB折叠扇形纸片,点O恰好落在(AB) ̂上的C处,图中阴影部分的面积为【 】

如图,在正方形ABCD中,点E是边BC上的一点,点F在边CD的延长线上,且BE=DF,连接EF交边AD于点G.过点A作AN〦EF,垂足为点M,交边CD于点N.若BE=5,CN=8,则线段AN的长为________.