大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 2025年矩阵的变换)

单项选择（2025年理工数学Ⅱ）

下列矩阵中，可以经过若干初等变换得到矩阵的是【】

A、

B、

C、

D、

答案解析

B

【解析】

解答过程见word版

讨论

矩阵的运算

若矩阵A经初等变换化成B，则【】

设二次型f(x1,x2 )=x1²-4x1 x2+4x2²经正交变换=Q化为二次型g(y1,y2 )=ay1²+4y1 y2+by2²，其中a≥b.(1)求a,b的值；(2)求正交矩阵Q.

证明：秩等于r的矩阵可以表示为r个秩等于1的矩阵之和，但不能表示为少于r个秩等于1的矩阵之和.

设A是n阶满秩矩阵，证明：存在正交矩阵P1,P2使得P1-1AP2=其中λi>0(i=1,2,⋯,n).

设A为3阶矩阵，P=，若PT AP²=，则A=【】

设A为4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若A(A-A*)=0，且A≠A*，则r(A)取值为【】

矩阵A=,B=，二次型f(x1,x2,x3 )=xT BAx.已知方程组Ax=0的解均是BT x=0的解，但这两个方程组不同解.(1)求a,b的值；(2)求正交变换x=Qy，将f(x1,x2,x3)化为标准形.

设A是秩为2的3阶矩阵，α是满足Aα=0的非零向量，若对满足βTα=0的3维向量β均有Aβ=β，则【】

设实矩阵A=，若对任意实向量α=,β=,(αTAβ)²≤αTAα∙βTAβ都成立，则a的取值范围是________.

设A=,B=,C=若矩阵满足AXB=C，则X=________.

矩阵

设A为2阶矩阵，P(α,Aα)，其中α是非零向量且不是A的特征向量(1)证明P为可逆矩阵；(2)若A²α+Aα-6α=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵.

设A为3阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.若r(2E-A)=1,r(E+A)=2，则|A* |=______.

假设A是2024阶方阵，主对角线上全是偶数，其余的都是奇数.证明：该矩阵为可逆矩阵.

设矩阵A=，则A的最小多项式为__________.

设n阶矩阵A 的各行素之和均为3，E为单位阵则阵A²-2A +E的各行元素之和为______.

设λ-矩阵A(λ)=则A(λ)的所有不变因子为__________.

设A(λ),B(λ)都是数域P上m×n的λ矩阵，则A(λ),B(λ)等价的充要条件为A(λ)与B(λ)有相同的初等因子组.

设A为n阶复方阵，0为A的最小多项式m(λ)的r重根，r≥2为正整数.证明：(1)对任意的正整数k≥r,r(Ak )=r(Ar).(2) r(Ar )<r(Ar-1).

设n阶矩阵A,B,C满足r(A)+r(B)+r(C)=r(ABC)+2n，给出下列四个结论：①r(ABC)+n=r(AB)+r(C);② r(AB)+n=r(A)+r(B);③ r(A)=r(B)=r(C)=n;④r(AB)=r(BC)=n，其中正确的选项是【】

已知矩阵A=与B=合同.(1) 求a的值及k的取值范围；(2) 若存在正交矩阵Q，使得QTAQ=B，求k及Q.

矩阵的变换

下列矩阵中不能相似于对角矩阵的【】

已知A=(1) 求正交矩阵P，使得PTAP为对角矩阵；(2) 求正定矩阵C，使得C2 = (a+3)E-A.

设A=(aij)是n阶实对称正定矩阵，b1,b2,…,bn为任意非零实数，证明B=(aijbibj)也是正定的。

设A为任一n阶矩阵，数λ>0，证明λI+AT A为正定矩阵。

若n维列向量α与β正交，A=αβT，则A的特征值全为零。

证明：任一可逆的实矩阵A可以表示成A=QB，其中Q为正交矩阵，B是主对角线上元素均为正的三角形矩阵：B=,bii>0,且此表示式是惟一的。

设A∈Rm×n,rankA=r，证明存在可逆矩阵M∈Rm×m及正交矩阵P∈Rn×n，使得MAP= 其中Rm×n表示 m×n实数矩阵空间，Ir表示r×r单位矩阵，C∈Rr×(n-r)。

设A=,B=且A与B相似.(1)求α,β的值;(2)求可逆阵P使P-1 AP=B.

设4阶矩阵B=,C=，且矩阵A满足关系式A(E-C-1 B)T CT=E,其中E为4阶单位矩阵，C-1表示 C的逆矩阵，CT表示 C的转置矩阵，将上述关系式化简并求矩阵A.

设A=,B=,P_1=,P_2=，则必有【】