高中数学-高考试题(北京市 2022年随机事件的概率)

问答题（2022年北京市）

在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：

甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；

乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；

丙：9.85，9.65，9.20，9.16．

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．

（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X)；

（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

答案解析

（1）由频率估计概率可得：甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3P(X=0)=P(¯(A1) ¯(A2) ¯(A3))=0.6×0.5×0.5=3/20，P(X=1)=P(A1¯(A2) ¯(A3))+P(¯(A1) A2¯(A3))+P(¯(A1) ¯(A2) A3) =0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=8/20，P(X=2)=P(A1A2¯(A3))+P(A1¯(A2) A3)+P(¯(A1) A2A3...

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讨论

变量计算

甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．

给出20个数87 91 94 88 93 91 89 87 92 8690 92 88 90 91 86 89 92 95 88它们的和是【】

一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球.从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是________. (用数字作答)

有一组样本数据x1,x2,…,xn，由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn，其中yi=xi+c(i=1,2,…,n)，c为非零常数，则【】

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x ̅ 和 y ̅，样本方差分别记为S12和S22.(1) 求x ̅ , y ̅ , S12,S22;(2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y ̅ - x ̅ ≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高 )．

为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即k个人的拭子合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测，现有100人，已知其中2人感觉病毒.(1)①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为1/11，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；(2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y的数学期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小（直接写出结果）.

袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为1/6，一红一黄的概率为1/3，则m-n=_________，E(ξ)=________.

设一组样本数据 x1, x2, · · · , xn 的方差为 0.01, 则数据 10x1, 10x2, · · · , 10xn 的方差为【】

在一组样本数据中, 1, 2, 3, 4 出现的频率分别为 p1, p2, p3, p4, 且=1, 则下面四种情形中, 对应样本的标准差最大的一组是【】

已知一组数据 4, 2a, 3 − a, 5, 6 的平均数为 4, 则 a 的值是______.

总体估计

一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组 40 60对照组 10 90（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．(P(B|A))/(P(B ̄|A))与(P(B|A ̄))/(P(B ̄|A ̄))的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：R=P(A|B)/P(A ̄|B)⋅P(A ̄|B ̄)/P(A|B ̄)；（ⅱ）利用该调查数据，给出P(A|B),P(A|B ̄)的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附：K2=n(ad-bc)2/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d))，P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828

某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：并计算得xi2 =0.038,yi2 =1.6158,xiyi=0.2474．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数r= ,≈1.377．

已知 1, 2, a, b 的中位数是 3, 平均数是 4, 则 ab =______.

盒中有 4 个球, 其中 1 个红球, 1 个绿球, 2 个黄球, 从盒中随机取球, 每次取 1 个, 不放回, 直到取出红球为止, 设此过程中取到黄球的个数为 ξ, 则 P (ξ = 0) = ______, E(ξ) = ______.

某公司生产的洗发水，每瓶容量服从N(m,σ²)的正态分布。随机抽取16瓶，用样本均值推断m的95%置信区间为746.1≤m≤755.9.若随机抽取n瓶，用样本均值推断m的99%置信区间为a≤m≤6.已知P{|Z|≤1.96}=0.95，P{|Z|≤2.58)=0.99，要使b-a不大于6，n最小为【】

若P(cosθ,sinθ)与Q(cos⁡(θ+π/6),sin⁡(θ+π/6))关于 y轴对称，写出一个符合题意的θ值________.

为满足人民对美好生活的向往, 环保部门要求相关企业加强污水治理, 排放未达标的企业要限期整改. 设企业的污水排放量 W 与时间 t 的关系为 W = f(t). 用 -(f(b)-f(a))/(b-a)的大小评价在 [a, b] 这段时间内企业污水治理能力的强弱. 已知整改期内, 甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.① 在 [t1, t2] 这段时间内, 甲企业的污水治理能力比乙企业强;② 在 t2 时刻, 甲企业的污水治理能力比乙企业强;③ 在 t3 时刻, 甲、乙两企业的污水排放都已达标;④ 甲企业在 [0, t1], [t1, t2], [t2, t3] 这三段时间中, 在 [0, t1] 的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是__________.

某三棱柱的底面为正三角形, 其三视图如图所示, 该三棱柱的表面积为【】

某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为【】

对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：小雨：0~10中雨：10~25大雨：25~50暴雨：50~100小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级【】

随机事件的概率

某校为举办甲、乙两项不同活动, 分别设计了相应的活动方案: 方案一、方案二. 为了解该校学生对活动方案是否支持, 对学生进行简单随机抽样, 获得数据如下表:假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.(I) 分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;(II) 从该校全体男生中随机抽取 2 人, 全体女生中随机抽取 1 人, 估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率;(III) 将该校学生支持方案二的概率估计值记为 p0. 假设该校一年级有 500 名男生和 300 名女生, 除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 p1. 试比较 p0 与 p1 的大小. (结论不要求证明)

将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次, 观察向上的点数, 则点数和为 5 的概率是______.

某厂生产电子元件，其产品的次品率为5％，现从一批产品中任意地连续取出2件，其中次数品数ξ的概率分布是ξ 0 1 2p

有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面,在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1,2和3.现任取出3面,它们的颜色与号码均不相同的概率是________.

如图,用A,B,C三类不同的元件连接成两个系统N1 N2.当元件A,B,C都正常工作时,系统N1正常工作; 当元件A正常工作且元件B,C至少有一个正常工作; 时,系统N2正常工作.已知元件A,B,C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90分别求系统N1 N2正常工作的概率P1 P2.

有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则【】

甲、乙两人在毎次猜谜语活动中各猜—个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对一方获胜，否则本次平局。已知每次活动中,甲乙猜对的概率分别为5/6和3/5，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为__________；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为__________.

某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜概率分别为p1,p2,p3，且p3>p2>p1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则【】

在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1-α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送 1次，三次传输是指每个信号重复发送3次，收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).

甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛, 约定赛制如下:累计负两场者被淘汰; 比赛前抽签决定首先比赛的两人, 另一人轮空; 每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛, 负者下一场轮空, 直至有一人被淘汰; 当一人被淘汰后, 剩余的两人继续比赛, 直至其中一人被淘汰, 另一人最终获胜, 比赛结束.经抽签, 甲、乙首先比赛, 丙轮空. 设每场比赛双方获胜的概率都为 1/2.(1) 求甲连胜四场的概率;(2) 求需要进行第五场比赛的概率;(3) 求丙最终获胜的概率.