初中数学-中考试题(山西省 2020年二次函数)

问答题（2020年山西省）

如图，抛物线y=x²-x-3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为(4,-3)．

（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；

（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为 (m≥0)，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；

（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ=45°，求点Q的坐标．

答案解析

（1）A(-2,0)，B(6,0)，直线l的函数表达式为：y=-1/2x-1．（2）如图，根据题意可知，点P与点N的坐标分别为P(m,1/4 m2-m-3)，N(m,-1/2 m-1)．PM=|1/4 m2-m-3|=-1/4 m2+m+3MN=|-1/2 m-1|=1/2 m+1，NP=(-1/2 m-1)-(1/4 m2-m-3)=-1/4 m2+1/2 m+2，分两种情况：①当PM=3MN时，得-1/4 m2+m+3=3(1/2 m+1)．解得m1=0，m2=-2（舍去）当m=0时，1/4 m2-m-3=-3．∴点P的坐标为(0,-3)②当PM=3NP时，得-1/4 m2+m+3=3(-1/4 m2+1/2 m+2)．解，得m1=3，m2=-2（舍去）当m=3时，1/4 m2-m-3=-15/4∴点P的坐标为(3,-15/4)．∴当点N是线段PM的三等分点时，点P的坐标为(0,-3)或(3,-15/4) （3）解：∵直线y=-1/2 x-1与y轴交于点E，∴点E坐标为(0,-1)．分两种情况：①如图，当点Q在y轴正半轴上时，记为点Q1．过点Q1作Q1 H⊥直线l，垂足为H...

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讨论

初中数学

问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将RtΔABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到ΔCBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F，连接DE．猜想证明：（1）试判断四边形BE' FE的形状，并说明理由；（2）如图②，若DA=DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；解决问题：（3）如图①，若AB=15，CF=3，请直接写出DE的长．

图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，扇形的圆心角∠ABC=∠DEF=28°，半径BA=ED=60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm．（1）求闸机通道的宽度，即BC与EF之间的距离（参考数据：sin⁡28°≈0.47，cos⁡28°≈0.88，tan⁡28°≈0.53）；（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．

阅读与思考下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．×年×月×日星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°．办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS=MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS=90°．我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……任务：（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________；（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS=90°；（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）

2020年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域（5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．下图是其中的一个统计图．请根据图中信息，解答下列问题：(1）填空：图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是______亿元；(2）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“5G基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向，请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么；(3）小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为W，G，D，R，X的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为W（5G基站建设）和R（人工智能）的概率．

如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F，求∠C和∠E的度数．

2020年5月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．

下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．= 第一步= 第二步= 第三步= 第四步= 第五步= 第六步任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________；②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．

计算：(-4)2×(-)3-(-4+1)

如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为_______．

如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积24cm2是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______cm．

二次函数

儿童商场购进一批M型服装,销售时标价为75元/件,按8折销售仍可获利50%商场现决定对M型服装开展促销活动,每件在8折的基础上再降价x元销售,已知每天销售数量y(件)与降价x(元)之间的函数关系式为y=20+4x(x>0).(1)求M型服装的进价;(2)求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值.

如图所示,抛物线y=ax2+c(a>0)经过梯形ABCD的四个顶点,梯形的底AD在x轴上,其中A(-2,0),B(-1,-3).(1)求抛物线的解析式;(2)点M为y轴上任意一点,当点M到A,B两点的距离之和为最小时,求此时点M的坐标;(3)在第(2)问的结论下,抛物线上的点P使S△PAD=4S△ABM成立,求点P的坐标.

对抛物线:y=-x2+2x-3而言，下列结论正确的是【】

如图(左),抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的顶点为C(1,4),交x轴于A、B两点,交y轴于点D,其中点B的坐标为(3,0). (1)求抛物线的解析式;(2)如图(中),过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上的一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小?若存在,求出这个最小值及点G、H的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图(右),在抛物线上是否存在一点T,过点T作x轴的垂线,垂足为点M,过点M作MN//BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.

二次函数y=x2-2x+6的最小值是________.

如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-4,0)、B(1,0)、C(-2,6).(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗?

已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)，a+b+c=0.下列四个结论：①若抛物线经过点(-3,0)，则b=2a；②若b=c，则方程cx2+bx+a=0一定有根x=-2；③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；④点A(x1,y1 ),B(x2,y2)在抛物线上，若0<a<c，则当x1<x2<1时，y1>y2.其中正确的是________(填写序号).

如图(左)，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等.设x=AD,y=AE+CD,y关于x的函数图像如图(右)，图像过点(0，2)，则图像最低点的横坐标是________.

已知抛物线y=x2+kx-k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是【】

如图，二次两数y=x2-(m+1)x+m(m是实数，且-1<m<0)的图像与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，其对称轴与x轴交于C.已知点D位于第一象限，且在对称轴上，OD⊥BD，点E在x轴的正半轴上，OC=EC，连接ED并延长交y轴于点F，连接AF. (1)求A,B,C三点的坐标(用数字或含m的式子表示)；(2)已知点Q在拋物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值等于12/5时，求m的值.

坐标系与函数

如图，双曲线y=k/x(k>0)与⊙O在第一象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为________.

已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过(-2,1),(2-3)两点.(1)求b的值.(2)当c>-1时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是__________.(3)设(m,0)是该函数的图像与x轴的一个公共点，当-1<m<3时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围.

已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A(1,0)和B(3,0)，点P1 (x1,y1 ),P2 (x2,y2)是抛物线上不同于A,B的两个点，记△P1 AB的面积为S1,△P2 AB的面积为S2.有以下结论：①当x1>x2+2时，S1>S2；②当x1<2-x2时，S1<S2；③当|x1-2|>|x2-2|>1时，S1>S2;④当|x1-2|>|x2+2|>1时，S1<S2.其中正确结论的个数是【】

已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3,4)，M是抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)对称轴上的一个动点.小明经探究发现：当b/a的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定.若抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则b/a的值是______.

已知抛物线y=-2x2+bx+c经过点(0,-2)，当x<-4时，y随x的增大而增大，当x>-4时，y随x的增大而减小.设r是抛物线y=-2x2+bx+c与x轴的交点（也称公共点）的横坐标，m=(r9+r7-2r5+r3+r-1)/(r9+60r5-1).(1)求b,c的值；(2)求证：r4-2r2+1=60r2；(3)以下结论：m<1,m=1,m>1，你认为哪个正确？请证明你的结论.

设O为坐标原点，点A,B为抛物线y=x2上的两个动点，且OA⊥OB.连接点A,B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值【】

把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为____________.

已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点(-1,0)，且对任意实数x都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6.(1)求该二次函数的解析式;(2)若(1)中二次函数图像与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C;点M是(1)中二次数图像上的动点，问在x轴上是否存在点N，使得以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,若存在，求出所有满足条件的点N的坐标;若不存在，请说明理由.

计算|1-tan60°|的值为【】

在平面直角坐标系xOy中，点(1,m)和点(3,n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上.(1) 若m=3,n=15，求该抛物线的对称轴；(2) 已知点(-1,y1 ),(2,y2 ),(4,y3)在该抛物线上.若mn<0，比较y1,y2,y3的大小，并说明理由.