初中数学-中考试题(北京市 2021年二次函数)

问答题（2021年北京市）

在平面直角坐标系xOy中，点(1,m)和点(3,n)在抛物线y=ax²+bx(a>0)上.

(1) 若m=3,n=15，求该抛物线的对称轴；

(2) 已知点(-1,y₁ ),(2,y₂ ),(4,y₃)在该抛物线上.若mn<0，比较y₁,y₂,y₃的大小，并说明理由.

答案解析

(1) 由题意得点(1,3),(3,15)在抛物线上，代入y=ax2+bx得：，解得,∴抛物线的方程为y=x2+2x.∴抛物线的对称轴为x=-b/2a=-1.(2) ∵y=ax2+bx(a>0),∴抛物线开口向上，且经过原点，当b=0时，抛物线顶点为原点，x>0时，y随x增大面增大，n>m>0不满足题意，当b>0时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，n>m>0不满足题意，∴b<0，抛物线对称轴在y轴右侧...

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讨论

初中数学

为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入(单位：百万元)的数据，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下：数据分成5组：6≤x<8,8≤x<10,10≤x<12,12≤x<14,14≤x≤16. b.甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x<12，这一组的数据是：10.0,10.0,10.1,10.9,11.4,11.5,11.6,11.8.c.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下: 平均数中位数甲城市 10.8 m乙城市 11.0 11.5根据以上信息，回答下列问题：(1).写出表中m的值:(2).在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1，在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2.比较p1,p2的大小，并说明理由:(3).若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入(直接写出结果).

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E.(1)求证：∠BAD=∠CAD；(2)连接并延长OB，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC.若⊙O的半径为5，OE=3,求GC和OF的长.

在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像由函数y=1/2 x的图像向下平移1个单位长度得到.(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x>-2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围.

如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE//DC,EF⊥AB，垂足为F.(1)求证：四边形AECD是平行四边形；(2)若AE平分∠BAC,BE=5,cosB=4/5，求BF和AD的长.

已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0.(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若m>0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值.

《淮南子·天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B、A两点间的距离为10步(步是古代的一种长度单位)，在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C、B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆，取 CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向。(1)上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示。使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D(保留作图痕迹)；(2)在图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向，根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明.证明：在△ABC中，BA=______，D是CA的中点，∴CA⊥DB(__________)(填推理的依据).∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向.

已知a2+2b2-1=0，求代数式(a-b)2+b(2a+b)的值.

北京市一元一次不等式组

计算：2sin60°+√12+|-5|-(π-√2)0.

某企业有A、B两条加工相同原材料的生产线，在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为(4a+1)小时;在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为(2b+3)小时.第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为________.第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m/n的值为_______.

二次函数

如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-4,0)、B(1,0)、C(-2,6).(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗?

已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)，a+b+c=0.下列四个结论：①若抛物线经过点(-3,0)，则b=2a；②若b=c，则方程cx2+bx+a=0一定有根x=-2；③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；④点A(x1,y1 ),B(x2,y2)在抛物线上，若0<a<c，则当x1<x2<1时，y1>y2.其中正确的是________(填写序号).

如图(左)，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等.设x=AD,y=AE+CD,y关于x的函数图像如图(右)，图像过点(0，2)，则图像最低点的横坐标是________.

已知抛物线y=x2+kx-k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是【】

如图，二次两数y=x2-(m+1)x+m(m是实数，且-1<m<0)的图像与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，其对称轴与x轴交于C.已知点D位于第一象限，且在对称轴上，OD⊥BD，点E在x轴的正半轴上，OC=EC，连接ED并延长交y轴于点F，连接AF. (1)求A,B,C三点的坐标(用数字或含m的式子表示)；(2)已知点Q在拋物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值等于12/5时，求m的值.

已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过(-2,1),(2-3)两点.(1)求b的值.(2)当c>-1时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是__________.(3)设(m,0)是该函数的图像与x轴的一个公共点，当-1<m<3时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围.

已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A(1,0)和B(3,0)，点P1 (x1,y1 ),P2 (x2,y2)是抛物线上不同于A,B的两个点，记△P1 AB的面积为S1,△P2 AB的面积为S2.有以下结论：①当x1>x2+2时，S1>S2；②当x1<2-x2时，S1<S2；③当|x1-2|>|x2-2|>1时，S1>S2;④当|x1-2|>|x2+2|>1时，S1<S2.其中正确结论的个数是【】

已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3,4)，M是抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)对称轴上的一个动点.小明经探究发现：当b/a的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定.若抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则b/a的值是______.

已知抛物线y=-2x2+bx+c经过点(0,-2)，当x<-4时，y随x的增大而增大，当x>-4时，y随x的增大而减小.设r是抛物线y=-2x2+bx+c与x轴的交点（也称公共点）的横坐标，m=(r9+r7-2r5+r3+r-1)/(r9+60r5-1).(1)求b,c的值；(2)求证：r4-2r2+1=60r2；(3)以下结论：m<1,m=1,m>1，你认为哪个正确？请证明你的结论.

设O为坐标原点，点A,B为抛物线y=x2上的两个动点，且OA⊥OB.连接点A,B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值【】

坐标系与函数

把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为____________.

已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点(-1,0)，且对任意实数x都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6.(1)求该二次函数的解析式;(2)若(1)中二次函数图像与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C;点M是(1)中二次数图像上的动点，问在x轴上是否存在点N，使得以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,若存在，求出所有满足条件的点N的坐标;若不存在，请说明理由.

二次函数y=ax2+bx+c的图像与一次函数y=2ax+b在同一平面直角坐标系中的图像可能是【】

抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,0),(3,0)，且与y轴交于点(0,-5)，则当x=2时，y的值为【】

如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是【】

在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=k/x(k≠0)的图像经过点A(1,2)和点B(-1,m)，则m的值为______.

单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x-h)2+k(a<0).示意图某运动员进行了两次训练.(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m 0 2 5 8 11 14竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(x-h)2+k(a<0);(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.04(x-9)2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1______d2，(填“>”“=”或“<”).

在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，设抛物线的对称轴为x=t.(1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上，若m<n<c，求t的取值范围及x0的取值范围.

二次函数y=ax²+bx+c 图象如图，下列正确的个数为【】①bc>0;②2a-3c<0;③2a+b>0;④ax²+bx+c=0有两个解x1,x2，当x1>x2时，x1>0,x2<0;⑤a+b+c>0;⑥当x>1时，y随x增大而减小.

如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C(0，-4).(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为 E，与y 轴的交点记为F,①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则△EFG的面积与△ACD的面积是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标.