大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 2025年可分离变量的微分方程)

填空题（2025年理工数学Ⅱ）

微分方程(2y-3x)dx+(2x-5y)dy=0满足条件y(1)=1的解为________.

答案解析

3x²-4xy+5y²=4

【解析】

解答过程见word版

讨论

大学数学

已知函数y=y(x)由确定，则 dy/dx|t=0=______.

1/n² [ln⁡(1/n)+2 ln(2/n)+⋯+(n-1) ln(n-1)/n]=________

曲线y=∛(x³-3x²+1)的渐近线方程为________.

设∫1+∞a/(x(2x+a)) dx=ln2，则a=________.

设3阶矩阵A,B满足r(AB)=r(BA)+1，则【】

下列矩阵中，可以经过若干初等变换得到矩阵的是【】

设矩阵有一个正特征值和两个负特征值，则【】

设函数f(x)连续，给出下列四个条件：①(|f(x)|-f(0))/x存在； ②(f(x)-|f(0)|)/x存在；③|f(x)|/x存在； ④(|f(x)|-|f(0)|)/x存在；其中能得到“f(x)在x=0处可导”的条件个数是【】

设单位质点P,Q分别位于点(0,0)和(0,1)处，P从(0,0)处出发沿x轴正向移动，记G为引力常量，则当质点P移动到点(l,0)时，克服质点Q的引力所做的功为【】

设函数f(x,y)连续，则∫-2²dx ∫4-x²4f(x,y)dy=【】

微分方程

若函数f(x)满足f'' (x)+af' (x)+f(x)=0(a>0)，且f(0)=m,f' (0)=n，则f(x)dx=________.

微分方程y'=1/(x+y)² 满足 y(1)=0的解为___________.

设y(x)为微分方程x²y''+xy'-9y=0满足条件 y|x=1=2, y'|x=1=6的解.(1)利用变换x=et将上述方程化为常系数线性方程，并求y(x)；(2)计算y(x)dx.

微分方程y'=1/(x+y)² 满足条件y(1)=0的解为__________.

y''-4y=e2x的通解为____________.

设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y' (x)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1-S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程.

微分方程y'''-2y''+5y'=0的通解y(x)=__________.

电子科技大学高阶线性微分方程

设y=φ(x)满足微分不等式dy/dx+a(x)y≤0 其中函数a(x)在x≥0上连续，证明：φ(x)≤φ(0) ,(x≥0).

设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0,f'(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x2y]dy=0为一阶全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解.

可分离变量的微分方程

若微分方程y''+ay'+by=0的解在(-∞,+∞)上有界，则【】

证明微分方程初值问题：的解在α<t<β上存在且惟一，其中a(t),b(t)均在区间α<t<β上连续，α<x_0<β,x_0为任意实数。

求微分方程x2y'+xy=y2满足初始条件y|x=1=1的特解.

已知函数y=y(x)在任意点x处的增量Δy=yΔx/(1+x2)+α，且当Δx→0时，α是∆x(∆x→0)的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于【】

若f(x):(0,π)→R连续，f(x)>0,f(π/2)=1，且对于任意的x∈(0,π)满足dt/(f2(t))=-cosx/(f(x))，求f(x)的表达式.

函数f(x)=|x|1/(1-x)(x-2)的第一类间断点的个数是【】

设函数y=f(x)由参数方程确定，则⁡x[f(2+2/x)-f(2)]=【】

设函数f(x)=sint3dt,g(x)=f(t)dt，则【】

已知数列{an}(an≠0)，若{an}发散，则【】

已知函数f(x,y)=，则在点(0,0)处【】