大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 2025年矩阵的特征值与特征向量)

单项选择（2025年理工数学Ⅱ）

设矩阵有一个正特征值和两个负特征值，则【】

A、a>4,b>0

B、a<4,b>0

C、a>4,b<0

D、a<4,b<0

答案解析

D

【解析】

解答过程见word版

讨论

大学数学

设函数f(x)连续，给出下列四个条件：①(|f(x)|-f(0))/x存在； ②(f(x)-|f(0)|)/x存在；③|f(x)|/x存在； ④(|f(x)|-|f(0)|)/x存在；其中能得到“f(x)在x=0处可导”的条件个数是【】

设单位质点P,Q分别位于点(0,0)和(0,1)处，P从(0,0)处出发沿x轴正向移动，记G为引力常量，则当质点P移动到点(l,0)时，克服质点Q的引力所做的功为【】

设函数f(x,y)连续，则∫-2²dx ∫4-x²4f(x,y)dy=【】

设函数f(x),g(x)在x=0的某去心领域内有定义且恒不为零.若x→0时，f(x)是g(x)的高阶无穷小，则当x→0时【】

如果对微分方程y''-2ay'+(a+2)y=0的任一解y(x)，反常积分∫0+∞y(x)dx均收敛，则a的取值范围是【】

已知函数f(x)=∫0xet² sintdt,g(x)=∫0xet²dt∙sin²⁡x，则【】

设函数z=z(x,y)由z+lnz-∫yxe-t² dt=0确定，则∂z/∂x+∂z/∂y=【】

投保人的损失事件发生时,保险公司的赔付额Y与投保人的损失额X的关系为Y=设损失事件发生时，投保人的损失额X的概率密度为f(x)=(1)求P{Y>0}及E(Y).(2)这种损失事件在一年内发生的次数记为N，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为M，假设N服从参数为8的泊松分布，在N=n(n≥1)的条件下，M服从二项分布B(n,P)，其中P=P{Y>0},求M的概率分布.

设矩阵A=，已知1是A的特征多项式的重根.(1)求a的值；(2)求所有满足Aα=α+β,A²α=α+2β的非零列向量α,β.

设Σ是由直线绕直线 (t为参数)旋转一周得到的曲面，Σ1是Σ介于平面x+y+z=0与x+y+z=1之间部分的外侧，计算曲面积分∬Σ1xdydz+(y+1)dzdx+(z+2)dxdy.

矩阵的特征值与特征向量

设A，B为2阶矩阵，且AB = BA，则“A有两个不相等的特征值”是“B可对角化”的【】

设A,B都为4阶复方阵，则A与B相似当仅当A与B有同的特征多项式，且每个特征值的几何重数(即对应特征子空间的维数)也相同.

设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是__________.

设A为3阶矩阵，A=，则A的特征值为1,-1,0的充分必要条件是【】

令n为正整数。对任一正整数k，记0k=为k×k的零矩阵。令Y=为一个(2n+1)×(2n+1)矩阵，其中A=(xi,j)1≤i≤n,1≤j≤n+1是一个n×(n+1)实矩阵且At记A的转置矩阵，即(n+1)×n的矩阵，(j,i)处元素为xi,j.(i)证明题（10分）称复数λ为k×k矩阵X的一个特征值，如果存在非零列向量v=(x1,…,xk)t使得Xv=λv.证明：0是Y的特征值且Y的其他特征值形如±，其中非负实数λ是AAt的特征值。(ii)证明题（15分）令n=3且a1,a2,a3,a4是4个互不相等的正实数。记a=以及xi,j=ai δi,j+aj δ4,j-1/a2 (ai2+a42)aj(1≤i≤3,1≤j≤4)，其中δi,j= .证明：Y有7个互不相等的特征值。

A=，则A的特征值为【】

设A为数域P上的一个n级矩阵，如果f(A)=0，则称f(x)以A为根。次数最低首项为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式，证明矩阵A的最小多项式是惟一的。

设A为n×n复矩阵，证明：存在一个n维向量α，使α，Aα，…，An-1α线性无关的充要条件是A的每个特征向量值恰有一个线性无关的特征向量。

设σ为n维线性空间V的一个线性变换，σ2=σ，证明：(1)σ特征值为0，1;(2)设V0,V1分别为0，1对应的特征子空间，则V=V0⊕V1;(3)若σ只有0特征值，则σ为零变换.

设3阶矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=3，对应的特征向量依次为ξ1=,ξ2=,ξ3=，又向量β=.(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出；(2)求An β(n为自然数).

特征值与正交计算

假设R是实数域，实向量空间R³中两组向量分别为α1=(-1,1,0),α2=(2,-1,2),α3=(0,1,b)和β1=(1,0,-1),β2=(-1,1,1),β3=(1,1,c).(1)当b,c取何值时，不存在R³上的线性变换F，满F(αi )=βi,i=1,2,3.(2)当b,c取何值时，至少存在两个R³上的线性变换F，满足F(αi )=βi,i=1,2,3.(3)当b,c取何值时，存在R³上的唯一线性变换F，满足F(αi )=βi,i=1,2,3.这样的线性变换是正交变换吗？为什么？

设A是n阶非零矩阵，S是使得λA与λ相似的复数λ的集合，证明S是一个有限集.

下列是A3×3可对角化的充分而非必要条件是【】

设实线性空间R2×2上的双线性函数ρ(X,Y)=tr(XT SY)，其中S∈R2×2.(1)求所有S，使得ρ是R2×2上的内积;(2)求所有S，使得A(X)=XT是内积空间(R2×2,ρ)上的正交变换.

任意置换方阵可复相似于对角阵。

已知二次型f(x1,x2,x3 )=x12+2x22+2x32+2x1 x2-2x1 x3,g(y1,y2,y3 )=y12+y22+y32+2y2 y3.(Ⅰ)求可逆变换x=Py，将f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3);(Ⅱ)是否存在正交变换x=Qy，将f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3).

已知α1=,α2=,α3=，记β1=α1,β2=α2 - kβ1,β3=α3 - l1 β1 - l2 β2，若β1,β2,β3 两两正交，则l1,l2依次为【】

若A=相似于对角阵，则a与b的关系为________.

已知矩阵A=与B=相似.(1)求x与y;(2)求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P.

设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=λ3=1，对应于λ1的特征向量为ξ1=(0,1,1)T，求A.