初中数学-中考试题(甘肃省武威市 2020年二次函数)

问答题（2020年甘肃省武威市）

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx-2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA=2OC=8OB.点P是第三象限内抛物线上的一动点.

（1）求此抛物线的表达式；

（2）若PC//AB，求点P的坐标；

（3）连接AC，求ΔPAC面积的最大值及此时点P的坐标.

答案解析

（1）由y=ax2+bx-2可得点C(0,-2)，即OC=2.∵OA=2OC=8OB，∴A(-4,0)，B(1/2,0).把A，B两点坐标代入y=ax2+bx-2，解得a=1，b=7/2，∴抛物线的表达式为y=x2+7/2 x-2.（2）∵PC// AB，C(0,-2)，∴点P的纵坐标为－2，∴-2=x2+7/2 x-2.解得x1=-7/2，x2=0（舍）.∴P(-7/2,-2)（3）设直线AC的表达式为y=kx-2（k≠0），把A(-4,0)代入可得k=-1/2，∴直线AC的表达式为y=-1/2 x-2.过点P作x轴的垂线...

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讨论

初中数学

如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN=45°.把ΔADN绕点A顺时针旋转90°得到ΔABE. （1）求证：ΔAEM≌ΔANM.（2）若BM=3，DN=2，求正方形ABCD的边长.

如图，⊙O是ΔABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE=AB. （1）求∠ACB的度数；（2）若DE=2，求⊙O的半径.

通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验.下表是一个函数的自变量x与函数值y的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：x … 0 1 2 3 4 5 …y … 6 3 2 1.5 1.2 1 … （1）当x=_________时，y=1.5；（2）根据表中数值描点(x,y)，并画出函数图象；（3）观察画出的图象，写出这个函数的一条性质：___________________________.

习近平总书记于2019年8月在兰州考察时说黄河之滨也很美”.兰州是古丝绸之路商贸重镇，也是黄河唯一穿城而过的省会城市，被称为“黄河之都”.近年来，在市政府的积极治理下，兰州的空气质量得到极大改善，“兰州蓝”成为兰州市民引以为豪的城市名片.下图是根据兰州市环境保护局公布的2013~2019年各年的全年空气质量优良天数绘制的折线统计图. 请结合统计图解答下列问题：（1）2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了_________天；（2）这七年的全年空气质量优良天数的中位数是_________天；（3）求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数；（4）《兰州市“十三五”质量发展规划》中指出：2020年，确保兰州市全年空气质量优良天数比率达80%以上.试计算2020年（共366天）兰州市空气质量优良天数至少需要多少天才能达标.

2019年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一.截至2020年1月，甘肃省已有五家国家"5A" 级旅游景区，分别为A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区：C：天水麦积山景区；D：敦煌鸣沙山月牙泉景区；E：张掖七彩丹霞景区.张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩.（1）张帆一家选择E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？（2）若张帆一家选择了E：张掖七彩丹霞景区，他们再从A，B，C，D四个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）.

图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志.在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑.某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：课题测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度测量示意图如图，雕塑的最高点B到地面的高度为BA，在测点C用仪器测得点B的仰角为α，前进一段距离到达测点E，再用该仪器测得点B的仰角为β，且点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内，点A，C，E在同一条直线上.α的度数β的度数CD的长度仪器CD（EF）的高度测量数据31°42°5米1.5米请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）.（参考数据：sin⁡3 1°≈0.52，cos⁡3 1°≈0.86，tan⁡3 1°≈0.60，sin⁡4 2°≈0.67，cos⁡4 2°≈0.74，tan⁡4 2°≈0.90）

如图，在ΔABC中，D是BC边上一点，且BD=BA. （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作∠ABC的角平分线交AD于点E；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F.（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系.

解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来.

计算：(2-)(2+)+tan⁡60°-(π-2 )0

已知y=-x+5，当x分别取1，2，3，……，2020时，所对应y值的总和是_________.

二次函数

已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a>0)的顶点为P，与x轴相交于点A(-1,0)和点B.(I)若b=-2,c=-3，①求点P的坐标;②直线x=m(m是常数，1<m<3)与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M,G的坐标;(Ⅱ)若3b=2c，直线x=2与抛物线相交于点N,E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E,F的坐标.

已知二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向下，对称轴为直线x=-1，且经过点(-3,0)，则下列结论正确的是【】

已知二次函数y=x2+mx+m2-3(m为常数，m>0)的图像经过点P(2,4).(1)求m的值:(2)判断二次函数y=x2+mx+m2-3的图像与x轴交点的个数，并说明理由.

李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元。根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱.(1)请求出这种水果批发价y(元/千克)与购进数量x(箱)之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大?最大利润是多少?

如图，点P(a,3)在抛物线C:y=4-(6-x)2上，且在C的对称轴右侧. (1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P',C'，平移该胶片使C'所在抛物线对应的函数恰为y=-x2+6x-9.求点P'移动的最短路程.

下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务。用函数观点认识一元二次方程根的情况：我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像(称为抛物线)与x轴交点的横坐标，抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点，与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根，因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况.下面根据抛物线的顶点坐标(-b/2a,(4ac-b2)/4a)和一元二次方程根的判别式∆=b2-4ac，分a>0和a<0两种情况进行分析：(1) a>0时，抛物线开口向上.①当∆=b2-4ac>0时，有4ac-b2<0.∵a>0，∴顶点纵坐标(4ac-b2)/4a<0.∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点(如图).②当∆=b2-4ac=0时，有4ac-b2=0.∵a>0,∴顶点纵坐标(4ac-b2)/4a=0∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点(如图).∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根.③当∆=b2-4ac<0时，.....(2) a<0时，抛物线开口向下……任务：(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是______(从下面选项中选出两个即可);A.数形结合 B.统计思想 C.分类讨论 D.转化思想(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，写出③中当a>0,∆<0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图;(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识.例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解.请你再举出一例为__________.

如图，二次函数y=-1/4 x2+3/2 x+4的图像与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图像上的一个动点，高点P的横坐标为m，过点P作PD⊥x轴于点D,作直线BC交PD于点E. (1)求A,B,C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)连接AC，过P作直线l//AC，交y轴于点F，连接DF.试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CD=FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由.

如图1，抛物线y=ax2+2x+c经过点A(-1,0),C(0,3)，并交x轴于另一点B，点P(x,y)在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D. (1)求该抛物线的函数表达式;(2)当点P的坐标为(1,4)时，求四边形BOCP的面积;(3)点Q在抛物线上，当PD/AD的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标; (4)如图2，作CG⊥CP,CG交x轴于点G(n,0)，点H在射线CP上，且CH=CG,过GH的中点K作KI//y轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标。

如图1，关于x的二次函数y=-x²+bx+c经过点A(-3,0),C(0,3)，点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上.(1)求抛物线的解析式；(2) DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；(3)如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标,若不存在请说明理由.

如图，抛物线y=ax²+2x-3与x轴交于A,B两点，且B(1,0).(1)求抛物线的解析式和点A的坐标；(2)如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；(3)如图2，已知直线y=2/3 x-4/9分别与x轴、y轴交于C,F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE.问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

坐标系与函数

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=1/2 x+4分别与x轴，y轴相交于A,B两点，点P(x,y)为直线l在第二象限的点.(1) 求A,B两点的坐标；(2) 设△PAO的面积为S，求S关于x的解析式，并写出x的取值范围；(3) 作△PAO的外接圆⨀C，延长PC交⨀C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⨀C的半径.

如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是【】

若点A(x1,2),B(x2,-1),C(x3,4)都在反比例函数y=8/x的图像上，则x1,x2,x3的大小关系是【】

在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图像设计了一个问题情境.已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2km，超市离学生公寓2km.小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min到阅览室;在阅览室停留70min后，匀速步行了10min到超市;在超市停留20min后，匀速骑行了8min返回学生公寓，给出的图像反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离ykm与离开学生公寓的时间xmin之间的对应关系.请根据相关信息，解答下列问题:(I)填表：离开学生公寓的时间/min 5 8 50 87 112离学生公寓的距离/km 0.5 ___ ___ 1.6 ___(Ⅱ)填空:①阅览室到超市的距离为________km；②小琪从超市返回学生公寓的速度为________km/min；③当小琪离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为________min.(Ⅲ)当0≤x≤92时，请直接写出y关于x的函数解析式.

如图，一次函数y=kx+b的图像与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数y=-2/x的图像在第二象限相交于点A(-1,m)，过点A作AD⊥x轴，垂足为D,AD=CD.(1)求一次函数的表达式；(2)已知点E(a,0)满足CE=CA，求a的值.

根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p(Pa)是它的受力面积S(㎡)的反比例函数，其函数图象如图所示，当S=0.25㎡时，该物体承受的压强p的值为______Pa.

若反比例函数y=k/x(k≠0)的图像经过点(2,-3)，则它的图像也一定经过的点是【】

下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x；其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是【】

在平面直角坐标系xOy中，若点A(2,y1),B(5,y2)在反比例函数y=k/x(k>0)的图像上，则y1 _____ y2(填“>”“=”或“<”).

如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B,C在第一象限，反比例函数y=1/x的图像经过点C，y=k/x(k≠0)的图像经过点B．若OC=AC，则k=________．