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中考2022年山东省青岛市( )

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE,连接CD.点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s,同时,点Q从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为1m/s. PQ交AC于点F,连接CP,EQ,设运动时间为t(s)(0<t<5).

解答下列问题:

(1)当EQ⊥AD时,求t的值;

(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm^2),求S与t之间的函数关系式;

(3)是否存在某一时刻t,使PQ//CD?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

(1)如图,在Rt△ABC中,AC==4,

∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE,

∴AD=AB=5,DE=BC=3,AE=AC=4,∠AED=∠ACB=90°,

∵EQ⊥AD

∴∠AQE=∠AED=90°,∠EAQ=∠DAE,

∴△AQE~△AED

∴AQ/AE=AE/AD,即AQ/4=4/5,

∴AQ=16/5,

∴t=AQ/1=16/5.

(2)过P作PN⊥BC于N,过C作CM⊥AD于M,

∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE,

∴∠BAD=90°,即∠BAC+∠CAM=90°,

∵∠B+∠BAC=90°,

∴∠B=∠CAM,

∴△ABC~△CAM,

∴AC/CM=AB/AC,即4/CM=5/4,

∴CM=16/5,

∴S△ACD=1/2 AD∙CM=1/2×5×16/5=8,

∴SABCD=S△ABC+S△ACD=1/2×3×4+8=14,

∵∠PBN=∠ABC,∠PNB=∠ACB=90°,

∴△PBN~△ABC,

∴AB/PB=AC/PN,即5/t=4/PN,

∴PN=4/5 t,

∴S△BCP=1/2 BC∙PN=1/2×3×4/5 t=6/5 t,

∴S=SABCD-S△BCP-S△APQ=14-6/5 t-1/2(5-t)∙t

=1/2 t2-37/10 t+14.

(3)存在某一时刻t,使PQ//CD,理由如下:

过C作CM⊥AD于M,如图,

由(2)知CM=16/5,

∴AM==12/5,

∴DM=AD-AM=13/5,

∵PQ//CD,

∴∠AQP=∠MDC,

∵∠PAQ=∠CMD=90°,

∴△APQ~△MCD,

∴AP/CM=AQ/DM,即∴(5-t)/(16/5)=t/(13/5),

解得t=65/29.

中考2022年山东省青岛市( )

李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售,这种水果每箱10千克,批发商规定:整箱购买,一箱起售,每人一天购买不超过10箱;当购买1箱时,批发价为8.2元/千克,每多购买1箱,批发价每千克降低0.2元。根据李大爷的销售经验,这种水果售价为12元/千克时,每天可销售1箱;售价每千克降低0.5元,每天可多销售1箱.

(1)请求出这种水果批发价y(元/千克)与购进数量x(箱)之间的函数关系式;

(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完,请你计算,李大爷每天应购进这种水果多少箱,才能使每天所获利润最大?最大利润是多少?

(1)根据题意得:y=8.2-0.2(x-1)=-0.2x+8.4.

答:这种水果批发价y(元/千克)与购进数量x(箱)之间的函数关系式y=-0.2x+8.4;

(2)设李大爷每天所获利润是w元,

由题意得:

w=[12-0.5(x-1)-(-0.2+8.4)]×10x=-3x2+41x=-3(x-41/6)2+1681/12,

∵-3<0,x为正整数,且|6-41/6|>|7-41/6|,

∴当x=7时,w取最大值,最大值为-3×(7-41/6)2+1681/12=140(元).

答:李大爷每天应购进这种水果7箱,才能使每天所获利润最大,最大利润140元.

中考2022年山东省青岛市( )

如图,在四边形ABCD中,AB//CD,点E,F在对角线BD上,BE=EF=FD,∠BAF=∠DCE=90°.

(1)求证:ΔABF≌ΔCDE:

(2)连接AE,CF,已知______(从以下两个条件中选择一个作为已知,填写序号),

请判断四边形AECF的形状,并证明你的结论.

条件①:∠ABD=30°;

条件②:AB=BC.

(注:如果选择条件①条件②分别进行解答,按第一个解答计分)

(1)∵BE=FD,

∴BE+EF=FD+EF,

∴BF=DE,

∵AB//CD,

∴∠ABF=∠CDE,

在△ABF和△CDE中,,∴△ABF≅△CDE(AAS).

(2)若选择条件①,四边形AECF是菱形,理由如下:

由(1)得,△ABF≅△CDE,

∴AF=CE,∠AFB=∠CED,

∴AF//CE,

∴四边形AECF是平行四边形,

∵∠BAF=90°,BF=EF,

∴AE=1/2 BF,

同理,AF=1/2 BF,

∴AE=AF,

∴AECF是菱形.

若选择条件②,四边形AECF是菱形,理由如下:

连接AC交BD于点O,

由(1)得,△ABF≅△CDE,

∴AF=CE,∠AFB=∠CED,

∴AF//CE,

∴四边形AECF是平行四边形,

∴AO=CO,

∵AB=BC,∴BO⊥AC,即EF⊥AC,

∴AECF是菱形.

中考2022年山东省青岛市( )

如图,一次函数y=kx+b的图像与x轴正半轴相交于点C,与反比例函数y=-2/x的图像在第二象限相交于点A(-1,m),过点A作AD⊥x轴,垂足为D,AD=CD.

(1)求一次函数的表达式;

(2)已知点E(a,0)满足CE=CA,求a的值.

(1)∵点A(-1,m)在反比例函数y=-2/x的图像上,

∴-m=-2,解得:m=2,

∴A(-1,2).

∵AD⊥x轴,

∴AD=2,OD=1,

∴CD=AD=2,

∴OC=CD-OD=1,

∴C(1,0),

分别把A(-1,2),C(1,0)代入y=kx+b中,

,解得

∴一次函数的表达式为:y=-x+1.

(2)在Rt∆ADC中,AC==2√2,

∴AC=CE=2√2,

当点E在C的左侧时,a=1-2√2,

当点E在C的右侧时,a=1+2√2,

∴a的值为1±2√2.

中考2022年山东省青岛市( )

【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形,

例如:如图①,在∆ABC和∆A'B'C'中,AD,A'D'分别是BC和B'C'边上的高线,且AD=A'D'、则∆ABC和∆A'B'C'是等高三角形。

 

【性质探究】

如图①,用S∆ABC和S∆A'B'C'分别表示∆ABC和∆A'B'C'的面积,

则S∆ABC=1/2 BC∙AD,S∆A' B' C'=1/2 B'C'∙A'D',

∵AD=A'D'

∴S∆ABC:S∆A'B'C'=BC:B'C'.

【性质应用】

(1)如图②,D是△ABC的边BC上的一点.若BD=3,DC=4,则S∆ABD:S∆ADC=________;

(2)如图③,在ΔABC中,D,E分别是BC和AB边上的点.若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3,S∆ABC=1,则S∆BEC=______, S∆DEC=________.

(3)如图③,在ΔABC中,D,E分别是BC和AB边上的点. 若BE:AB=1:m,CD:BC=1:n,S∆ABC=a,则S∆DEC=________.

(1) S∆ABD:S∆ADC=BD:DC=3:4.

(2)∵ S∆BEC:S∆ABC=BE:AB=1:2

∴S∆BEC=1/2 S∆ABC=1/2;

∵ S∆CDE:S∆BEC=CD:BC=1:3

∴S∆CDE=1/3 S∆BEC=1/3×1/2=1/6.

(3)∵BE:AB=1:m,

∴S∆BCE=1/m S∆ABC=a/m,

∵CD:BC=1:n,

∴S∆CDE=1/n S∆BCE=1/n∙a/m=a/mn.