证 明 题（数学·2020年3月·阿里巴巴）

设A=(a_ij)_n×n是一个由±1组成的n×n方阵(n>1).将A的n个行向量记为v₁,…,v_n.对于两个行行向量v=(a_i)_1≤i≤n与v'=(b_i)_1≤i≤n，定义

v*v'=(a_ib_i)_1≤i≤n

以及

v∙v'=a_ib_i

假设：

(1)对任意的i,j(1≤i,j≤n)，存在k(1≤k≤n)使得v_i*v_j=v_k；

(2)对任意的i,j(1≤i,j≤n,i≠j)， v_i∙v_j=0.

证明：

(i) A有一个行向量；对于A的另外任意一个行向量v_i，它有n/2个分量为1，n/2个分量为-1.

(ii)n是2的幂.

(ii)设n=2^m，则可以通过重新排列A的行与列，将A变为方阵

这里，X^⨂m==

是方阵X的m次张量积：两个方阵X=(x_ij)_1≤i,j≤p与Y=(y_i'j')_{1≤i',j'≤q}的张量积被定义为一个pq×pq方阵

X⨂Y=(z_kl)_1≤kl≤pq

其中z_kl=x_ijy_i'j'，整数i,j,i',j'满足1≤i,j≤p,1≤i',j'<q，且由等式k=p(i'-1)+i与l=p(j'-1)+j唯一确定.

解答提示

(i)取一个行向量vi.由假设，存在k使得vk=vi*vi=.对于另外的任何一个向量vl=(a1,…,an)(l≠k)，由0=vk∙vl=ai 得vl，它有n/2个分量为1，n/2个分量为-1.(ii)&(iii)令G=(v1,…,vn).由假设，以运算*为乘法G是一个交换群，单位元是行vk=，由于v...

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