证 明 题（数学·2021年5月·阿里巴巴）

2019年第一届阿里巴巴数学竞赛的优胜者们在参加集训营的时候，集体送给主办方负责人的礼物，是一个有60个全等的三角形面的多面体。从图中我们可以看到，这个多面体的表面是60个全等的空间四边形拼接而成的。

一个空间n边形是指由一个平面n边形沿若干条对角线做适当翻折（即在选定的对角线处形成适当的二面角)后得到的空间图形。两个空间图形全等指的是它们可以通过R³中的一个等距变换完全重合。一个多面体指的是一个空间有界区域，其边界可以由有限多个平面多边形沿公共边拼接而成。

1. 判断题(4分) 我们知道2021=43×47.那么是否存在一个多面体，它的表面可以由43个全等的空间47边形拼接而成?

2. 问答题(6分) 请对你的判断给出逻辑的解释。

解答提示

1.可以2.我们只需要举一个例子即可.考虑一个标准的环面T,其上的点可以由两个参数来表示：T={θ,φ:0≤θ,φ<2π}.我们可以认为这个环面以z-轴为对称轴: (θ,φ)对应于空间中的((R+rcosφ)cosθ,(R+rcosφ)sinθ,sinφ).对于1≤k≤43,我们考虑环面上的区域Dk={θ,φ:2(k-1)/43 π+3 φ/86≤θ≤2k/43 π+3 φ/86}.直观地说，把环面分成全等的43份之后,每一份沿{φ=0}切开，将切开处的一侧保持不动,另一侧扭转一定角度.现在,把{φ=0}这个圆变形成一个正43边形，各个顶点分别对应于θ=2k/43 π.这样Dk有四条“边”(其中两条位于{φ=0}上)，四个顶点（两个位于正43边形的顶点处，两个位于边的中点处，我们还要标记出这两个中点之间的正43边形的顶点）.记为Ck,0=(2(k-1)/43 π...

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