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分别令 中， 得， ， ； 设 BC 的表达式为： ， 将 ， 代入 得， 解得： ；
∴BC 的表达式为： ； 抛物线平移后的表达式为： ， 根据题意得， ，即 ，
∵该抛物线与直线 始终有交点，
∴h 的最大值为 ；
【小问 3详解】 存在，理由如下： 将 代入 中得 ，
∵四边形 DEMN 是平行四边形， 设 ， 当 时，解得： （舍去）， 当 时，解得： ，
∴ 或 ， 综上，点 N 的坐标为： 或 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用、平行四边形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．