证 明 题（数学·2023年·广东省）

如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上.如图2，将正方形OABC绕O逆时针旋转，旋转角为α(0°<α<45°)，AB交直线y=x于点E，BC交y轴于点F.

(1)当旋转角∠EOF为多少度时，OE=OF；（直接写出结果，不要求写解答过程）；

(2)若点A(4,3)，求FC的长；

(3)如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y=x于点N，连接FN.将△OFN与△OCF的面积分别为S₁,S₂，设S=S₁-S₂,AN=n，求S关于n的函数表达式.

解答提示

(1)当OE=OF时，在Rt△AOE和Rt△COF中，,∴△AOE≅△COF(HL)，∴∠AOE=∠COF，即∠AOE=旋转角，∴2∠AOE=45°,∴∠COF=∠AOE=22.5°，即当旋转角为22.5°时，OE=OF；(2)过点A作AG⊥x轴，则有AG=3,OG=4，易得OA=5.∵四边形OAGC是正方形，∴OC=OA=5,∠AOC=∠C=90°，又∵∠COF+∠FOA=90°,∠AOG+∠FOA=90°,∴∠COF=∠GOA,∴Rt△AOG∼Rt△FOC，∴OC/OG=FC/AG,∴FC=OC/OG⋅AG=15/4.(3)过点N作直线PQ⊥BC，交BC于点P，交OA于点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA=∠OCA=45°,BC//OA，又∠FON=45°，∴∠FCN=∠FON=45°，∴F,C,O,N四点共圆，∴∠OFN=...

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