证 明 题（数学·2021年·湖北省武汉市）

抛物线y=x²-1交x轴于A,B两点(A在B的左边),

(1) ▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上.

①如图(1)，若点C的坐标是(0,3)，点E的横坐标是5，直接写出点A,D的坐标;

②如图(2)，若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标.

(2)如图(3)，F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF,BF(不含端点)于G,H两点.若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的值是定值.

解答提示

(1)①A(-1,0),D(5/2,17/4);②设点C坐标为(0,n)，点E坐标为(m,m2-1),∵四边形ACDE是平行四边形，∴将AC沿AE平移可与ED重合，点D坐标为(m+1,m2-1+n).∵点D在抛物线上，∴m2-1+n=(m+1)2-1.解得, n=2m+1,所以C(0,2m+1).连接CE,过点E作x轴垂线，垂足为M,过点C作CN⊥EM，垂足为N,则S△ACE=S梯形AMNC-S△AME-S△CNE.∵S▱ACDE=12,A(-1,0),∴6=1/2 (m+m+1)(2m+1)-1/2 (m+1)(m2-1)-1/2[2m+1-(m2-1)].∴m2+3m-10=0.解得m1=2,m2=-5(...

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