证 明 题（数学·2020年·山西省）

阅读与思考

下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．

×年×月×日星期日

没有直角尺也能作出直角

今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？

办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°．

办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS=MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS=90°．

我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？

……

任务：

（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________；

（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS=90°；

（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；

②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）

解答提示

（1）勾股定理的逆定理（或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）；（2）证明：由作图方法可知：QR=QC，QS=QC，∴∠QCR=∠QRC，∠QCS=∠QSC．又∵∠SRC+∠RCS+∠RSC=180°，∴∠QCR+∠QCS+∠QRC+∠QSC=180°．∴2(∠QCR+∠QCS...

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