1992年全国统考考研试题-几何-解析几何-向量

证明题（理工数学Ⅰ·1992年·全国统考）

设向量组α₁,α₂,α₃线性相关，α₂,α₃,α₄线性无关，问：

(1) α₁能否由α₂,α₃线性表出？证明你的结论.

(2) α₄能否由α₁,α₂,α₃线性表出？证明你的结论.

解答提示

(1) α1能由α2,α3线性表出.由向量组α1,α2,α3线性相关知，存在不全为零的k1,k2,k3，使k1 α1+k2 α2+k3 α3=0.其中k1≠0.因为若k1=0，则k2,k3不全为零，使k2 α2+k3 α3=0，于是α2,α3线性相关，从而α2,α3,α4线性相关，这与已知矛盾，故k1≠0.于是有α1=-k2/k1 α2-k3/k1 α3=l2 α2+l3 α3.即α1能由α2...

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几何

设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对任意x都有f(x+1)=2f(x)，且当0≤x≤1时f(x)=x(1-x2)，试判断在x=0处函数f(x)是否可导.

设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，欲使F(x)在x=0可导，则必有【】

设当x=0时，f(sinx)= f2(sinx)，f'(x)≠0，则f(0)=.

已知函数y=f(x)在x=2处连续，且=2求证f(x)在x=2处可导，并求f'(x)=2.

设y=y(x)由方程xef(y)=eyln29确定，其中具有二阶导数，f'≠1，则= .

设f(x)=(n=1,2,3,…)，求f(n)(x).

设y=ln(1-x2)，求y(n).

函数，在 x=0处【】

设函数y=y(x)由参数方程确定，则=.

若z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析，且u-v=(x-y)(x2+4xy+y2)，求f(z).

解析几何

已知α1=,α2=,α3=，记β1=α1,β2=α2 - kβ1,β3=α3 - l1 β1 - l2 β2，若β1,β2,β3 两两正交，则l1,l2依次为【】

已知曲线C:，求C上的点到xoy坐标面距离的最大值.

2019年第一届阿里巴巴数学竞赛的优胜者们在参加集训营的时候，集体送给主办方负责人的礼物，是一个有60个全等的三角形面的多面体。从图中我们可以看到，这个多面体的表面是60个全等的空间四边形拼接而成的。一个空间n边形是指由一个平面n边形沿若干条对角线做适当翻折（即在选定的对角线处形成适当的二面角)后得到的空间图形。两个空间图形全等指的是它们可以通过R3中的一个等距变换完全重合。一个多面体指的是一个空间有界区域，其边界可以由有限多个平面多边形沿公共边拼接而成。1. 判断题(4分) 我们知道2021=43×47.那么是否存在一个多面体，它的表面可以由43个全等的空间47边形拼接而成?2. 问答题(6分) 请对你的判断给出逻辑的解释。

面条是中华传统美食，花样不断翻新。清晨，擀宽面的张师傅别出心裁，把他的宽面条两头粘上，变成了宽面圈儿，如图：他平时切面条一样，把宽面圈儿沿着中心线切开，就得到两个完全同样的宽面圈儿，如图：张师傅灵机一动，重新将面条拧了一下，再两头粘上。这样竟然成了数学中常常讲到的莫比乌斯带（以德国数学家奥古斯特●莫比乌斯命名），如图：接着，他灵机两动，三动，直至n动。将宽面拧了两个，三下，直至n下，总以如图的右手内旋的方式来拧，然后照样地两头粘上。这些宽面圈儿在数学上还没有固定的名称。张师傅把莫比乌斯带称作1旋圈面，拧两下、三下的称作2旋、3旋圈面，总之，拧n下就是旋圈面；n为2、3、7的情形如图：起先没有拧就粘上的，普普通通，只称作平凡圈面，或者0旋圈面。在线师傅看来，不同旋数的圈面是彼此不同的（因为只在厨房里摆放来，摆放去，总不能把一种变成另一种）。张师傅把他的多旋圈面开店上架，一时网红。有人为百岁老人订制100旋圈面，有人为公司年会订制2019旋圈面，（张师傅拧得手都酸了）。试问：张师傅要是依旧沿中心线切开这两种圈面，分别会得到什么？【】

设A=(aij)n×n是一个由±1组成的n×n方阵(n>1).将A的n个行向量记为v1,…,vn.对于两个行行向量v=(ai)1≤i≤n与v'=(bi)1≤i≤n，定义v*v'=(aibi)1≤i≤n以及v∙v'=aibi假设：(1)对任意的i,j(1≤i,j≤n)，存在k(1≤k≤n)使得vi*vj=vk；(2)对任意的i,j(1≤i,j≤n,i≠j)， vi∙vj=0.证明：(i) A有一个行向量；对于A的另外任意一个行向量vi，它有n/2个分量为1，n/2个分量为-1.(ii)n是2的幂.(ii)设n=2m，则可以通过重新排列A的行与列，将A变为方阵这里，X⨂m==是方阵X的m次张量积：两个方阵X=(xij)1≤i,j≤p与Y=(yi'j')1≤i',j'≤q的张量积被定义为一个pq×pq方阵X⨂Y=(zkl)1≤kl≤pq其中zkl=xijyi'j'，整数i,j,i',j'满足1≤i,j≤p,1≤i',j'<q，且由等式k=p(i'-1)+i与l=p(j'-1)+j唯一确定.

设α1=(1,0,0,3),α2=(1,1,-1,2),α3=(1,2,a-3,1),α4=(1,2,-2,a),β=(0,1,b,-1)，问a,b为何值时(1) β能由α1,α2,α3,α4线性表示且表示唯一；(2) β不能由α1,α2,α3,α4线性表示；(3) β能由α1,α2,α3,α4线性表示但表示不唯一，并求一般表达式。

设A是n×n实对称矩阵，证明：存在一个实数k使得对任意一个实n维向量x都有|x' Ax|≤kx'x，其中x'表示向量x的转置.

设对角矩阵A的特征多项式为 φ(λ)=(λ-λi)ni （诸λi两两互异），求所有和A可交换的矩阵全体所组成的线性空间的维数.

用数学归纳法证明：对于复n维空间Vn上任意多个两两可交换的线性变换所组成的集合S具有公共的特征向量.

已知四维实矢量空间的矢量（表示成矩阵）：=,满足如下条件：以及T∙=9/4（其中，T表示对矩阵取置换），试求出所有这样的四维实矢量的集合：{ }=?

向量

已知α=(1,2,3);β=(1,1/2,1/3)，设A=αTβ，则An=。

设向量组α1,α2,α3线性相关，α2,α3,α4线性无关，问：(1) α1能否由α2,α3线性表出？证明你的结论.(2) α4能否由α1,α2,α3线性表出？证明你的结论.

设(a×b)∙c=2，则[(a+b)×(b+c)]∙(c+a)=.

设函数f:R3→R,f(M)=Ax+By+Cz+D，其中A,B,C,D是不全为零的实数，M(x,y,z)∈R3.证明：如果三点M0,M1,M2共线，且(M1 M0 ) ̅=λ(M0 M2 ) ̅,λ∈R,λ≠-1，那么f(M0 )=(f(M1 )+λf(M2))/(1+λ)

在空间直角坐标系O-xyz中，三张平面πi:ai x+bi y+ci z=di (i=1,2,3)的位置关系如图所示，记αi=(ai,bi,ci ),βi=(ai,bi,ci,di)，若r=m,r=n，则【】