初中数学-中考试题(广东省广州市 2024年平行四边形)

问答题（2024年广东省广州市）

如图，在菱形ABCD中，∠C=120°，点E在射线BC上运动(不与点B,C重合)，△AEB关于AE的轴对称图形为△AEF.

(1)当∠BAF=30°时，试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系，并说明理由；

(2)若AB=6+6√3,⨀O是△AEF的外接圆，设⨀O的半径为r，

①求r的取值范围；

②连接FD，直线FD能否与⨀O相切？如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由.

答案解析

解答过程见word版

讨论

直线和圆

综合探究如图1，在矩形ABCD中（AB>AD），对角线AC,BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A'.连接AA'交BD于点E，连接CA'. (1)求证：AA'⊥CA'；(2)以点O为圆心，OE为半径作圆.①如图2，⨀O与CD相切，求证：AA'=√3 CA'；②如图3，⨀O与CA'相切，AD=1，求⨀O的面积.

如图，在单位长度为1的网格中，点O,A,B均在格点上，OA=3，AB=2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：①过点A作切线AC，且AC=4(点C在A的下方)；②连接OC，交⊙O于点D；③连接BD，与AC交于点E.(1)求证：DB为⊙O的切线；(2)求AE的长度.

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为D.连接并延长BC，交AD的延长线于点E.(1)求证：AE=AB；(2)若AB=10，BC=6，求CD的长.

已知△ABE为直角三角形，∠ABE=90°,BC为圆O的切线，C为切点，CA=CD，则△ABC和△CDE的面积之比为【】

一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径，半圆O上点C处有个吊灯EF,EF//AB,CO⊥AB,EF的中点为D,OA=4. (1)如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM=1.6,DF=0.8，求CD的长度；(2)如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线∠OHM=∠OHN=45°,tan∠COH=3/4,求ON的长度;(3)如图③, M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM=50°,HN为反射光线交圆O于点N，在M从O运动到B的过程中，求点N的运动路径长.

如图，AB为⊙O的直径，直线 CD与⊙O 相切于点 C，连接AC，若∠ACD=50°，则∠BAC 的度数为【】

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.(1)求证：∠BCA=∠BAD；(2)求DE的长；(3)求证：BE是⊙O的切线.

如图，☉O是△ABC的外接圆，AC是直径。过点O作线段OD⊥AB于点D，延长DO交☉O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于点F，连接PF.(1)若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长(结果保留π)；(2)求证：OD=OE；(3)求证：PF是☉O的切线.

⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过⏜BC的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG， CP，PB.(1)如图1；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；(2)如图2，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；(3)如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB.

如图，点P是四边形ABCD外接圆⊙O上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD，连接PA,PB，PC,若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=________.

平行四边形

如图，在▱ABCD 中，∠DAB=30°.(1)实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；(保留作图痕迹，不要求写作法)(2)应用与计算：在(1)的条件下，AD=4，AB=6，求BE的长.

如图，在▱ABCD中，一定正确的是【】

菱形的边长为5，则它的周长为______.

如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，a的值为【】

(1)如图1，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≅△FCB；②若SABCD=20时，BE⋅CF=________.(2)如图2，在菱形ABCD中，cosA=1/3，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD于点F，若SABCD=24，求EF∙BC的值.(3)如图3，在平行四边形ABCD中，∠A=60°,AB=6,AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF∙EG=7√3，请直接写出AG的长.

以下说法正确的是【】

(1) 发现：如图1所示，在正方形 ABCD 中，E为AD 边上一点，将△AEB 沿BE 翻折到△BEF 处，延长EF交CD 边于点G.求证：△BFG≌△BCG.(2) 探究：如图2，在矩形ABCD中,E为AD 边上一点，且AD=8,AB=6.将△AEB 沿BE 翻折到△BEF处，延长EF交BC边于点G，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求AE的长.(3) 拓展：如图3，在菱形ABCD中，E为CD 边上的三等分点，∠D=60°。将△ADE沿AE 翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长.

在学习了平行四边形的相关知识后，小虹进行了拓展性研究，她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这条垂直平分线在该四边形内部的线段被这条对角线平分.其解决问题的思路为通过证明对应线段所在两个三角形全等即可得出结论.请根据她的思路完成以下作图和填空:用直尺和圆规作平行四边形ABCD对角线AC的垂直平分线,交DC于点E,交AB于点F,垂足为O.(只保留作图痕迹)如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为O.求证:EO=FO.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB∴∠ECO = ______.∵EF垂直平分AC,∵________.又∠EOC = ______,∴△COE≌△AOF (ASA).∴EO=FO.再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的所有与该四边形一组对边相交所得的线段均具备此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题的填空：过平行四边形对角线中点的直线________________.

如图，将一张直角三角板纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的形状是___________.

如图，已知▱ABCD.(1)作图：延长BC，并在BC的延长线上截取线段CE，使得CE=BC(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，不连结AE，交CD于点F，求证：△AFD≌△EFC.

四边形

边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为________.

综合与实践主题：制作无盖正方体形纸盒.素材：一张正方形纸板步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒. 猜想与证明:(1)直接写出纸板上∠ABC 与纸盒上∠A1B1C1的大小关系:(2)证明 (1)中你发现的结论.

如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12.将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD 和边BC上.连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H.给出以下结论：①EF⊥BG； ②GE=GF;③△GDK 和△GKH 的面积相等；④当点F与点 C 重合时，∠DEF=75°其中正确的结论共有【】

背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放 (点 E、4、D 在同一条直线上)，发现BE=DG且BE⊥DG. 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：(1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向转(如图1)，还能得到BE=DG吗?若能请给出证明；若不能，请说明理由；(2)把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图2)，试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立?请说明理由；(3)把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD,且AE/AG=AB/AD=2/3,AE=4,AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图3)，连接DE,BG.小组发现：在旋转过程中，DE²+BG²的值是定值，请求出这个定值.

下列说法错误的是【】

如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE,BE=BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB=2，则OF的长度为【】

如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.(1)设Rt△CBD的面积为S1, Rt△BFC的面积为S2, Rt△DCE的面积为S3 , 则S1______ S2+ S3(用“>”、“=”、“<”填空)；(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.

如图，▱ABCD中，下列说法一定正确的是【】

如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是________.

如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长.